Hệ số góc của đường thẳng

Hệ số góc của đường thẳng

Hệ số góc của đường thẳng \(y=kx+m\) là \(k\).

Liên hệ giữa hệ số góc và vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến của đường thẳng

• Nếu đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=(a;b)\) (với \(a \ne 0\)) thì \(d\) có hệ số góc là \(k=\dfrac{b}{a}.\)
• Nếu đường thẳng \(d\) có hệ số góc là \(k\) thì \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=(1;k).\)

Chứng minh.

• Nếu đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=(a;b)\) thì có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(b;-a)\). Khi đó phương trình tổng quát của \(d\) có dạng \(bx-ay+c=0\). Ta rút ra \(y=\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}.\) Vậy hệ số góc của \(d\) là \(k=\dfrac{b}{a}.\)
• Nếu \(d\) có hệ số góc là \(k\) thì phương trình của \(d\) có dạng \(y=kx+m\) hay \(kx-y+m=0\). Khi đó \(d\) có 1 vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(k;-1).\) Suy ra \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=(1;k).\)

Xem lại: Liên hệ giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến

Công thức viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cho trước và biết hệ số góc

Cho đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(x_0;y_0)\) và có hệ số góc \(k\). Khi đó \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=(1;k).\) Suy ra một vectơ pháp tuyến của \(d\) là \(\overrightarrow{n}=(k;-1).\) Do đó, phương trình tổng quát của \(d\) là \(k(x-x_0)-(y-y_0)=0.\)

Vậy ta có công thức phương trình đường thẳng \(d\) trong trường hợp này là \(y-y_0=k(x-x_0).\)

Ví dụ. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) biết \(d\) qua điểm \(M(1;-2)\) và có hệ số góc \(k=3.\)

Giải. Áp dụng công thức trên, phương tình tổng quát của \(d\) là: \(y+2=3(x-1) \Leftrightarrow y=3x-1.\)

Ta hay dùng công thức này khi viết phương trình tiếp tuyến của đường thẳng (lớp 11).

Hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm

Ta chứng minh được hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm \(A(x_A;y_A)\) và \(B(x_B;y_B)\) (trong đó \(x_A\ne x_B\)) là
\[k=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\]

Ý nghĩa hình học của hệ số góc

Nếu \(x_A=x_B\) và \(y_A\ne y_B\) thì đường thẳng \(AB\) có phương đứng nên không có hệ số góc.

Bây giờ cho \(x_A<x_B\). Xét các trường hợp

• Nếu \(y_A=y_B\) thì \(AB\) có phương ngang và có hệ số góc \(k=0\).
• Nếu \(y_A<y_B\) thì đường thẳng \(AB\) từ trái sang phải có xu hướng đi lên. Nếu gọi \(\alpha\) là góc tạo bởi \(AB\) và trục hoành thì ta có \(k=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\tan\alpha\).
• Nếu \(y_A>y_B\) thì đường thẳng \(AB\) từ trái sang phải có xu hướng đi xuống. Nếu gọi \(\alpha\) là góc tạo bởi \(AB\) và trục hoành thì ta có \(k=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=-\tan\alpha\).

Vậy trong mọi trường hợp ta đều có \(\tan \alpha=|k|\). Từ đó ta có công thức
\[k=\pm\tan\alpha\]

Phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc cho sẵn

Phương trình đường thẳng đi qua \(M_0(x_0;y_0)\) có hệ số góc \(k\) là
\[y-y_0=k(x-x_0)\]