Các công thức diện tích tam giác

Cho tam giác \(ABC\).

• Đặt \(AB=c,\) \(BC=a,\) \(CA=b\).
• Gọi \(h_a, h_b, h_c\) lần lượt là độ dài đường cao kẻ từ \(A, B, C.\)
• Gọi \(R, r\) lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp của tam giác.
• Đặt \(p=\dfrac{a+b+c}{2}\) gọi là nửa chu vi của tam giác.

Ta có các công thức tính diện tích \(S\) của tam giác \(ABC\) sau:

• \(S=\dfrac{1}{2}a.h_a=\dfrac{1}{2}b.h_b=\dfrac{1}{2}c.h_c\)
• \(S=\dfrac{1}{2}bc\sin A=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{1}{2}ac\sin B\)
• \(S=\dfrac{abc}{4R}\)
• \(S=p.r\)
• \(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)

Chứng minh.

1. Công thức thứ nhất là diện tích tam giác bằng nửa tích cạnh đáy với đường cao tương ứng mà ta đã học.

2. Để chứng minh công thức thứ hai, ta chứng minh công thức sau \[h_a=b\sin C=c\sin B\] Vẽ đường cao \(h_a\) trong 3 trường hợp góc \(\widehat{B}\) nhọn, tù, vuông ta đều thấy \(\sin C=\dfrac{h_a}{b}\). Vậy \(h_a=b\sin C.\) Tương tự ta cũng có \(h_a=c\sin B\). Như vậy \[S=\dfrac{1}{2}a.h_a=\dfrac{1}{2}a.b\sin C\] Các trường hợp \(S=\dfrac{1}{2}bc\sin A=\dfrac{1}{2}ca\sin B\) là tương tự.

3. Từ định lý sin \(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R\) ta suy ra \(\sin C=\dfrac{c}{2R}.\) Thay vào công thức 2 đã chứng minh ta được \[S=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{1}{2}.ab.\dfrac{c}{2R}=\dfrac{abc}{4R}.\]

4. Việc chứng minh công thức \(S=p.r\) phải dùng đến tính chất tiếp tuyến của đường tròn cùng đi qua 1 điểm. (thầy sẽ trình bày tiếp sau)

5. Việc chứng minh công thức hê-rông dùng những biến đổi khá cồng kềnh thầy chưa có thời gian gõ lên đây.