Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng thể tích tứ diện

1. Phương pháp

Cho tứ diện \(ABCD\), nếu biết thể tích của tứ diện và diện tích tam giác \(ABC\) thi ta có thể tính được khoảng cách từ \(D\) đến \((ABC)\) bằng công thức \[\mathrm{d}\big(D,(ABC)\big)=\dfrac{3.V_{ABCD}}{S_{ABC}}\] mà không cần phải vẽ đoạn vuông góc hạ từ \(D\) đến mặt phẳng \((ABC).\)

Nếu \(ABC\) là tam giác đặc biệt như là tam giác ĐỀU, VUÔNG, hoặc CÂN thì ta tính diện tích khá đơn giản. Nếu là tam giác thường thì ta đi tính 3 cạnh của nó rồi dùng công thức Hê-rông tính diện tích bằng máy tính CASIO.

2. Ví dụ

(Đề thi đại học khối A năm 2014) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,\) \(SD=\dfrac{3a}{2},\) hình chiếu vuông góc của \(S\) trên mặt phẳng \((ABCD)\) là trung điểm của cạnh \(AB.\) Tính theo \(a\) thể tích khối chóp \(S.ABCD\) và khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((SBD).\)

Hướng dẫn:

* Tính thể tích khối chóp:

Gọi \(H\) là trung điểm \(AB\), theo đề ta có \(SH\bot(ABCD).\) Áp dụng định lý pitago trong tam giác \(AHD\) ta tính được \(HD=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.\) Đề cho \(SD=\dfrac{3a}{2}\), áp dụng định lý pitago trong tam giác \(SHD\) ta tính được đường cao của hình chóp là \(SH=a\). Từ đó tính được thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) là \(V=\dfrac{a^3}{3}.\)

* Tính khoảng cách từ A đến (SBD):

\[V_{S.ABD}=\dfrac{1}{2}V_{S.ABCD}=\dfrac{a^3}{6}\]

Tam giác \(SBD\) có \(SD=\dfrac{3a}{2},\) \(SB=\sqrt{SH^2+HB^2}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2},\) \(BD=a\sqrt{2}.\)

Nửa chu vi tam giác \(SBD\) là \(p=\dfrac{1}{2}a\left(\dfrac{\sqrt{5}}{2}+\sqrt{2}+\dfrac{3}{2}\right).\)

Diện tích tam giác \(SBD\) là:

\[S_{SBD}=\sqrt{p\left(p-\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\right)\left(p-a\sqrt{2}\right)\left(p-\dfrac{3a}{2}\right)}=\sqrt{\dfrac{9}{16}a^4}=\dfrac{3}{4}a^2\]

\[\mathrm{d}\big(A,(SBD)\big)=\dfrac{3.\dfrac{a^3}{6}}{\dfrac{3}{4}a^2}=\dfrac{2}{3}a\]

3. Bài tập