Tính đạo hàm bằng định nghĩa

Để tính đạo hàm của hàm số \(y=f(x)\) tại \(x=x_0\) ta tính giới hạn \[\mathop{\lim}\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số \(y=f(x)=\sqrt{x}\) tại \(x=4.\)

Đáp số: \(f'(4)=\dfrac{1}{4}.\)

Ví dụ 2. Cho \(x_0>0\). Tính đạo hàm của hàm số \(y=f(x)=\sqrt{x}\) tại \(x=x_0.\)

Đáp số: \(f'(x_0)=\dfrac{1}{2\sqrt{x_0}}.\)

Nhận xét. Với mỗi \(x_0>0\) ta thấy tồn tại \(y'(x_0)=\dfrac{1}{2\sqrt{x_0}}.\) Ở đây có một tương ứng mỗi số thực \(x>0\) với đạo hàm của hàm số \(f\) tại \(x.\) Như vậy ta có một hàm số mới \(f'\) từ \((0;+\infty)\) vào \(\mathbb{R}\) cho bởi biểu thức \(f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) với mọi \(x>0.\) Hàm \(f'\) gọi là hàm số đạo hàm của hàm \(f\) trên khoảng \((0;+\infty).\) Ta có thể viết \[\left(\sqrt{x}\right)'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \quad \text{với} \quad x>0\]

Xem tiếp: Đạo hàm của hàm số trên một khoảng