Đạo hàm của hàm số trên một khoảng

1. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng

Hàm số \(y=f(x)\) gọi là có đạo hàm trên khoảng \((a;b)\) nếu nó có đạo hàm tại mọi \(x\) thuộc \((a;b).\)

2. Hàm số đạo hàm

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên khoảng \((a;b).\) Ta có một hàm số mới biến mỗi \(x\) thuộc khoảng \((a;b)\) thành \(f'(x)\), hàm số này gọi là đạo hàm của hàm số \(f\) trên khoảng \((a;b).\)

Ví dụ. Cho hàm số \(f(x)=\sqrt{x}.\) Theo ví dụ 2 ở mục tính đạo hàm bằng định nghĩa ta có \(f'(x_0)=\dfrac{1}{2\sqrt{x_0}}\) với mọi \(x_0>0.\) Như vậy \(f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) là hàm số đạo hàm của hàm số \(f\) trên khoảng \((0;+\infty)\) và ta ghi \[\left(\sqrt{x}\right)'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \quad \text{với mọi} \quad x>0\]