Định nghĩa phép trừ hai vectơ

Vectơ đối. 

Định nghĩa. Vectơ ngược hướng và có cùng độ dài với vectơ \(\overrightarrow{a}\) gọi là vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow{a}\) và được kí hiệu là \(-\overrightarrow{a}.\)

Tính chất:

• Trường hợp cụ thể: \(-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}\)
• Tổng của một vecơ với vectơ đối của nó bằng \(\overrightarrow{0}.\) \[\overrightarrow{a}+\big(-\overrightarrow{a}\big)=\overrightarrow{0}\]

Định nghĩa phép trừ hai vectơ. Tổng của vectơ \(\overrightarrow{a}\) với vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow{b}\) được gọi là hiệu của hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}.\) \[\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+\big(-\overrightarrow{b}\big)\]

Quy tắc trừ

• \(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB}\)
• \(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{NA}=\overrightarrow{MN}\)

Chứng minh. Ta có \[\begin{array}{lll}\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}&=&\overrightarrow{OB}+\big(-\overrightarrow{OA}\big)\\&=&\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{AO}\\&=&\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}\\ &=&\overrightarrow{AB}\end{array}\]

Công thức thứ 2 được chứng minh tương tự

Quy tắc chuyển vế

\[\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}\Leftrightarrow\overrightarrow{a}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}\]

Chứng minh. Ta phải chứng minh 2 chiều suy ra đều đúng.

• Cho \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}\), ta có \(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}=\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}.\)
• Ngược lại, cho \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b},\) ta có \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}.\)

Quy bỏ dấu trừ trước dấu ngoặc

• \(\overrightarrow{a}-\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\)
• \(\overrightarrow{a}-\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\)
• \(-\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)
• \(-\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)=-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)

Chứng minh. Bạn đọc tự chứng minh.