Tìm m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng cho trước

Bài 1. Tìm \(m\) để hàm số \(y=2x^3-3(2m+1)x^2+6m(m+1)x+1\) đồng biến trên \((2;+\infty).\)

Giải. Tập xác định \(D=\mathbb{R}.\)

Ta có \(y'=6x^2-6(2m+1)x+6m(m+1).\)

\(y'=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=m\\x=m+1\end{array}\right.\)

(nhẩm nghiệm phương trình bậc hai hoặc khi tính \(\Delta\) thì ta được một bình phương đúng rồi dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai)

Bảng biến thiên của hàm số:

Hàm số đồng biến trên khoảng \((2;+\infty)\) khi và chỉ khi \((2;+\infty)\subset(m+1;+\infty)\Leftrightarrow m+1\le2\Leftrightarrow m\le1.\)

Bài 2. Cho hàm số \(y=mx+\dfrac{4}{x}+m.\) Tìm tất cả giá trị của tham số \(m\) để hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty;-1).\)

Giải. Tập xác định \(D=\mathbb{R}\backslash\{0\}.\)

Ta có \(y'=m-\dfrac{4}{x^2}=\dfrac{mx^2-4}{x^2}.\)

Trường hợp \(m=0\), ta có \(y'=-\dfrac{4}{x^2}<0\quad\forall x\ne0.\) Khi đó hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;0)\) và \((0;+\infty)\) (không thoả đề).

Trường hợp \(m<0\) ta có \(y'<0\quad\forall x\ne0.\) Khi đó hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;0)\) và \((0;+\infty)\) (không thoả đề).

Trường hợp \(m>0\) ta có \(y'=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\dfrac{2}{\sqrt{m}}\\x=-\dfrac{2}{\sqrt{m}}\end{array}\right..\)

Bảng biến thiên của hàm số:

Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty;-1)\) khi và chỉ khi \((-\infty;-1)\subset\left(-\infty;-\frac{2}{\sqrt{m}}\right)\Leftrightarrow-1\le-\frac{2}{\sqrt{m}}\Leftrightarrow m\ge4.\)

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty;-1)\) khi và chỉ khi \(m\ge4.\)