Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai

Cho phương trình \(ax^2+bx+c=0\) với \(a\ne0.\) Đặt \(f(x)=ax^2+bx+c.\) Ta có 3 cách nhẩm nghiệm thường dùng sau:

Cách 1. Ta có \(f(1)=a+b+c.\) Nếu \(f(1)=0\) hay \(a+b+c=0\) thì \(x=1\) là một nghiệm của phương trình. Theo hệ thức Vi-ét thì nghiệm kia là \(x_2=\dfrac{c}{a}.\)

Cách 2. Ta có \(f(-1)=a-b+c.\) Nếu \(f(-1)=0\) hay \(a-b+c=0\) thì \(x=-1\) là một nghiệm của phương trình. Theo hệ thức Vi-ét thì nghiệm kia là \(x_2=-\dfrac{c}{a}.\)

Cách 3. Theo hệ thức Vi-ét thì \[\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}\end{array}\right.\]

Trong vài trường hợp đơn giản thì ta có thể đoán ra 2 nghiệm khi biết tổng và tích của chúng.

• Phương trình \(x^2-5x+6=0\) có tổng hai nghiệm bằng \(5\) và tích hai nghiệm bằng \(6\) nên ta có thể đoán được hai nghiệm đó là \(x=2\), \(x=3.\)
• Phương trình \(x^2-2x-8=0\) có tổng hai nghiệm bằng \(2\) và tích hai nghiệm bằng \(-8\) nên ta có thể đoán được hai nghiệm đó là \(x=4\), \(x=-2.\)
• Phương trình \(x^2-(2m+1)x+m(m+1)=0\) có tổng hai nghiệm bằng \(2m+1\) và tích hai nghiệm bằng \(m(m+1)\) nên ta có thể đoán được hai nghiệm đó là \(x=m\) và \(x=m+1.\)