Ôn tập đạo hàm

ĐỀ 1

Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số

a)\(y=3\cos x-\dfrac{x^3}{3}\)       b)\(y=\dfrac{\sin x}{1-\cos x}\)      c)\(y=\sqrt{2\sin^2x+1}\)

Xem lại: Công thức đạo hàm

Làm thêm: Tính đạo hàm

Làm thêm: Tính đạo hàm của hàm hợp

Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{x}{x+1}\) tại điểm có hoành độ bằng \(-2\).

Xem lại: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm

Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=x^3-3x^2+1\) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(y=\dfrac{1}{3}x+1\).

Xem lại: Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc cho sẵn

Bài 4. Cho hàm số \(y=x\sin x\). Chứng minh \(xy-2(y'-\sin x)+xy''=0\).

Ôn thêm: Chứng minh đẳng thức có chứa đạo hàm

Ôn thêm: Giải phương trình, bất phương trình có chứa đạo hàm

Bài 5. Cho hàm số \(y=f(x)=\dfrac{mx^3}{3}-\dfrac{mx^2}{2}+(m+1)x\). Tìm \(m\) để \(f'(x)\ge 0\quad \forall x\in\mathbb{R}.\)

Làm thêm: Một số bài tập nâng cao về phương trình tiếp tuyến

Hướng dẫn. Ta có \(f'(x)=mx^2-mx+m+1\).

• Nếu \(m=0\) thì \(f'(x)=1\ge 0\quad \forall x\in\mathbb{R}\) (thoả đề).
• Nếu \(m\ne 0\), áp dụng công thức điều kiện để tam thức bậc hai không đổi dấu, ta có \[\begin{array}{ll}&f'(x)\ge0 \quad \forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow& \begin{cases}\Delta \le0 \\ a>0\end{cases} \\ \Leftrightarrow& \begin{cases}(-m)^2-4m(m+1)\le 0\\ m>0\end{cases} \\ \Leftrightarrow& \begin{cases}-3m^2-4m\le 0\\ m>0\end{cases} \\ \Leftrightarrow& \begin{cases}\left[\begin{array}{l}m\le-\frac{4}{3}\\m\ge0\end{array}\right.\\ m>0\end{cases} \\ \Leftrightarrow&m>0 \end{array}\]

Vậy \(m\ge0\) thoả yêu cầu đề bài.

ĐỀ 2

Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số

a)\(y=3\sin 2x-\dfrac{1}{x}\)   b)\(y=\dfrac{2x^2+x+3}{x^2+1}\)   c)\(y=\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+1}}\)

Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

1. \(y=x^4-x^2-3\) tại điểm có hoành độ bằng \(-\sqrt{3}\).
2. \(y=x^3+x\) tại điểm có hoành độ bằng \(-1\).
3. \(y=\dfrac{x+3}{2x-1}\) tại điểm có hoành độ bằng \(-2\).
4. \(y=\dfrac{x}{x^2+1}\) tại điểm có hoành độ bằng \(-\sqrt{3}\).

Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{1}{2x}\) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(y=-\dfrac{1}{2}x+1\).

Bài 4. Cho hàm số \(y=\sin x-\cos x\). Giải phương trình \(y'=0.\)

Xem lại: Công thức phương trình lượng giác cơ bản

Xem lại: Phương trình \(a\sin x+b\cos x=c\)

Xem lại: Công thức có \(\sin x\pm\cos x\)

Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{x+1}{x-1}\) biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng \(y=-x-1\) một góc \(\alpha\) thỏa \(\cos\alpha=\dfrac{3}{\sqrt{10}}.\)

Hướng dẫn. \(y'=\dfrac{-2}{(x-1)^2}\). Gọi \(M(x_0;y_0)\) là tiếp điểm, gọi \(k\) là hệ số góc của tiếp tuyến. Phương trình tiếp tuyến là \(\Delta: y-y_0=k(x-x_0)\Leftrightarrow kx-y+y_0-kx_0=0\). Ta có \(d: y=-x-1\Leftrightarrow x+y+1=0\). Vì góc giữa hai đường thẳng \(\Delta\) và \(d\) là \(\alpha\) nên: \[\begin{array}{ll}&\cos\alpha=\dfrac{|k-1|}{\sqrt{k^2+1}.\sqrt{1+1}}\\ \Leftrightarrow&\dfrac{3}{\sqrt{10}}=\dfrac{|k-1|}{\sqrt{2}.\sqrt{k^2+1}}\\ \Leftrightarrow&3\sqrt{k^2+1}=\sqrt{5}.|k-1|\\ \Leftrightarrow&9(k^2+1)=5(k^2-2k+1)\\ \Leftrightarrow&4k^2+10k+4=0\\ \Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}k=-2\\k=-\frac{1}{2}\end{array}\right.\end{array}\]

Với \(k=-2\) ta có \[\begin{array}{ll}&y'(x_0)=-2\\ \Leftrightarrow&\dfrac{-2}{(x_0-1)^2}=-2\\ \Leftrightarrow&(x_0-1)^2=1\\ \Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}x_0-1=1\\x_0-1=-1\end{array}\right.\\ \Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}x_0=2\\x_0=0\end{array}\right.\end{array}\]

Bạn đọc tự giải tiếp.

ĐỀ 3

Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số

a) \(y=\tan x+\cot x+\dfrac{2}{x}\)   b) \(y=(x^2+1)\sin 2x\)   c) \(y=\sin^23x\)

Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{3-x}{x}\) tại giao điểm của đồ thị với trục hoành.

Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{x^3}{3}-x\) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(y=2x+2\sqrt{3}\).

Bài 4. Cho hàm số \(y=4x^4-x^2\). Giải bất phương trình \(y'>0.\)

Bài 5. Cho điểm \(I(-1;1)\). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{x+5}{x+1}\) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng qua \(I\) và tiếp điểm.

Hướng dẫn. Ta có \(y'=-\dfrac{4}{(x+1)^2}\). Gọi \(M\left(a;\dfrac{a+5}{a+1}\right)\) là tiếp điểm (với \(a\ne-1\)). Ta có \(\overrightarrow{IM}=\left(a+1;\dfrac{4}{a+1}\right).\) Phương trình tiếp tuyến tại \(M\) là \[\begin{array}{ll}&y-\dfrac{a+5}{a+1}=-\dfrac{4}{(a+1)^2}.(x-a)\\ \Leftrightarrow& \dfrac{4}{(a+1)^2}x+y-\dfrac{a+5}{a+1}-\dfrac{4a}{(a+1)^2}=0\end{array}\] Tiếp tuyến có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=\left(1;-\dfrac{4}{(a+1)^2}\right)\). Vì tiếp tuyến vuông góc với \(IM\) nên \[\begin{array}{ll}&\overrightarrow{u}.\overrightarrow{IM}=0\\ \Leftrightarrow&a+1-\dfrac{16}{(a+1)^3}=0\\ \Leftrightarrow&(a+1)^4-16=0\\ \Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}a+1=2\\a+1=-2\end{array}\right.\\ \Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}a=1\\a=-3\end{array}\right.\end{array}\]

Bạn đọc tự giải tiếp.

ĐỀ 4

Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số

a) \(y=-\dfrac{3}{4}x^4+\dfrac{x^2}{2}\)   b) \(y=\dfrac{\cot 3x}{3x^2}\)   c) \(y=\left(\cos^2x-1\right)^3\)

Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{x}{2-x}\) tại giao điểm có hoành độ bằng \(-2.\)

Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{x^3}{3}+x^2\) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(x+3y-1=0\).

Bài 4. Cho hàm số \(y=x+\sqrt{4-x^2}\). Giải bất phương trình \(y'>0.\)

Xem thêm: Công thức bất phương trình chứa căn

Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{3}{x}\) biết tiếp điểm cách điểm \(A(-1;2)\) một khoảng bằng \(\sqrt{5}.\)

Xem thêm: Công thức độ dài đoạn thẳng nối hai điểm

ĐỀ 5

Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số

a) \(y=\cos x+\cot x+\sqrt{x}\)   b) \(y=x\sqrt{1-x}\)   c) \(y=\dfrac{2\sin^2x+3\cos^2x}{\sqrt{3\sin^2x+2\cos^2x}}\)

Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{4+x}{2x}\) tại giao điểm của đồ thị với đường thẳng \(x=1\).

Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{2}{x}\) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(x+2y-4=0\).

Bài 4. Cho hàm số \(\sin 2x-\sqrt{3}\cos 2x-2x+1\). Giải phương trình \(y'=0.\)

Xem thêm: Phương trình \(a\sin x+b\cos x=c\)

Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=1+\dfrac{2}{x}\) biết tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng \(\dfrac{25}{4}.\)