Hệ thức Vi-ét

Cho phương trình \(ax^2+bx+c=0\) (\(a\ne0\)) có hai nghiệm \(x_1, x_2.\) Khi đó ta có hệ thức \[\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}\end{array}\right.\]

Sau đây là một số ví dụ áp dụng.

Ví dụ 1. Gọi \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(2x^2-x-\dfrac{5}{2}=0.\) Không giải phương trình, tính giá trị các biểu thức

1. \(A=x_1^2+x_2^2.\)
2. \(B=x_1^3+x_2^3+x_1.x_2.\)
3. \(C=\dfrac{x_1^2}{x_2}+\dfrac{x_2^2}{x_1}.\)
4. \(D=(x_1+5)(x_2+5).\)
5. \(E=(x_1^2+x_2)(x_2^2+x_1).\)

Giải. Ta có $S=x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{1}{2}$ và \(P=x_1.x_2=\dfrac{c}{a}=-\dfrac{5}{2}.\)

1. \(A=x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=S^2-2P=\dfrac{1}{4}+5=\dfrac{9}{5}.\)

2. \(B=x_1^3+x_2^3+x_1x_2=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)+x_1x_2.\)
\(=(x_1+x_2)\left[(x_1+x_2)^2-3x_1x_2+x_1x_2\right]=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{1}{4}+\dfrac{15}{2}\right]-\dfrac{5}{2}=\dfrac{11}{8}.\)

3. \(C=\dfrac{x_1^2}{x_2}+\dfrac{x_2^2}{x_1}\)

Ví dụ tương tự. Gọi \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(x^2+x-1=0.\) Không giải phương trình, tính giá trị các biểu thức

1. \(A=x_1^2+x_2^2.\)
2. \(B=x_1^3+x_2^3.\)
3. \(C=x_1^4+x_2^4.\)
4. \(D=\left(x_1-x_2\right)^2.\)
5. \(E=\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}\)
6. \(F=\dfrac{x_1}{x_2^2}+\dfrac{x_2}{x_1^2}\)

Ví dụ 2. Tìm \(m\) để phương trình \(x^2+2mx+4=0\) có hai có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) thoả mãn \[\left(\dfrac{x_1}{x_2}\right)^2+\left(\dfrac{x_2}{x_1}\right)^2=47.\]

Ví dụ 3. Tìm \(m\) để phương trình \(x^2-mx+m^2-3=0\) có hai có hai nghiệm là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng \(2.\)

Ví dụ 4. Chứng minh rằng với mọi \(k\), phương trình \(x^2-2kx-(k-1)(k-3)=0\) có hai nghiệm \(x_1, x_2\) thoả mãn hệ thức \[\dfrac{1}{4}\left(x_1+x_2\right)^2+x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)+3=0.\]