Hệ thức lượng trong tam giác vuông

1. Các công thức

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\). Ta có các đẳng thức sau đây

\[\begin{array}{l}BC^2=AB^2+AC^2 \\ AB^2=BH.BC; \quad AC^2=CH.BC \\ AH^2=BH.CH \\ AB.AC=BC.AH \\ \dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\end{array}\]

2. Phát biểu bằng lời

• Định lí Pitago: \[BC^2=AB^2+AC^2\] 
• Bình phương cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu vuông góc của nó lên cạnh huyền \[AB^2=BH.BC; \quad AC^2=CH.BC\]
• Bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông lên cạnh huyền \[AH^2=BH.CH\]
• Tích 2 cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền với đường cao tương ứng: \[AB.AC=BC.AH\]
• Nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông \[\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\] 

3. Chứng minh

Các công thức trên được chứng minh dựa vào tam giác đồng dạng. Chẳng hạn ta đi chứng minh công thức \(AB^2=BH.BC\)

Hai tam giác vuông \(BHA\) và \(BAC\) có góc nhọn \(\widehat{B}\) chung nên đồng dạng. Từ đó ta có \[\dfrac{BH}{BA}=\dfrac{BA}{BC}\] Suy ra \(AB^2=BH.BC.\)