Dùng đạo hàm để tính giới hạn

Bài toán. Tính giới hạn \(L=\mathop {\lim} \limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt[4]{x+1}-\sqrt[5]{1-x}}{x}\)

Giải. Đặt \(f(x)=\dfrac{\sqrt[4]{x+1}-\sqrt[5]{1-x}}{x}\). Ta có tập xác định của hàm số này là \([-1;+\infty)\). Như vậy hàm số này xác định với mọi \(x\) gần \(0\). Ta có \[L=\mathop\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0)\] Mọi \(x\) gần \(0\) thì \(x+1>0\) và \(1-x>0\) nên ta viết lại \[f(x)=(1+x)^{\frac{1}{4}}+(1-x)^{\frac{1}{5}}\] Ta có \[\begin{array}{ll}f'(x)&=\dfrac{1}{4}(1+x)^{-\frac{3}{4}}+\dfrac{1}{5}(1-x)^{\frac{-4}{5}}\\&=\dfrac{1}{4\sqrt[4]{(1+x)^3}}+\dfrac{1}{5\sqrt[5]{(1-x)^4}}\end{array}\] Từ đó \(f'(0)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{9}{20}.\) Vậy \(L=\dfrac{9}{20}.\)

Liên quan: Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm