Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm

Đạo hàm là một khái niệm quan trọng của giải tích, là một công cụ rất mạnh giúp ta nghiên cứu hàm số về các phương diện như tính đơn điệu, cực trị, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, ...

Cho hàm số \(y=f(x)\) có tập xác định là một khoảng chứa \(x_0\), có nhiều bài toán thực tế dẫn đến việc xem xét giới hạn \(\mathop{\lim}\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\).

Ta xét trường hợp cụ thể thứ nhất, cho một vật chuyển động biết biểu thức tính quãng đường \(s\) theo thời gian \(t\) là \(s=f(t)\). Cho \(t_0\) là một thời điểm cụ thể, ta xét thêm thời điểm \(t>t_0\). Quãng đường vật đã đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm \(t_0\) đến thời điểm \(t\) là \(s(t)-s(t_0)\). Vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian trên là \(\dfrac{s(t)-s(t_0)}{t-t_0}\). Nếu ta cho \(t \to t_0\) thì vận tốc trung bình trên càng chính xác cho vận tốc tức thời tại thời điểm \(t_0\). Như vậy xuất hiện giới hạn \(\mathop{\lim}\limits_{t\to t_0}\dfrac{s(t)-s(t_0)}{t-t_0}.\)

Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm

Cho hàm số \(y=f(x)\) có tập xác định là \(D\) và \(x_0\) thuộc \(D\). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) \(\mathop{\lim}\limits_{x\to x_0} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm số tại \(x_0\) và kí hiệu là \(y'(x_0)\) hoặc \(f'(x_0)\).

Nhận xét. Giới hạn trên là giới hạn dạng \(\dfrac{0}{0}.\)

Xem tiếp: Tính đạo hàm bằng định nghĩa