Định nghĩa hàm số đồng biến nghịch biến đơn điệu

Định nghĩa. Cho hàm số \(y=f(x)\) có tập xác định \(D\) và \((a;b)\) là một khoảng con của \(D.\)

• Hàm số gọi là đồng biến trên khoảng \((a;b)\) nếu \[\forall \; x_1, x_2 \in (a;b), x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)\]
• Hàm số gọi là nghịch biến trên khoảng \((a;b)\) nếu \[\forall \; x_1, x_2 \in (a;b), x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)\]
• Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng \((a;b)\) gọi là đơn điệu trên khoảng \((a;b).\)

Hàm số đồng biến còn gọi là tăng, nghịch biến còn gọi là giảm. Trên khoảng đồng biến: \(x\) nhỏ thì \(y\) nhỏ. Trên khoảng nghịch biến: \(x\) nhỏ thì \(y\) lớn.

Hình vẽ dưới đây là đồ thị hàm số \(y=x^2\). Hàm số này nghịch biến trên khoảng \((-\infty;0)\) và đồng biến trên \((0;+\infty).\) Ta thấy trên khoảng nghịch biến thì đồ thị (phần màu xanh) có hướng đi xuống khi tính từ trái sang phải, trong khoảng đồng biến thì đồ thị có hướng đi lên (phần màu đỏ).

Chú ý.

• Nếu hàm số đơn điệu trên khoảng \(K\) thì nó cũng đơn điệu trên khoảng \(K'\) là khoảng con của \(K\). Ví dụ hàm số \(y=x^2\) đồng biến trên khoảng \((0;+\infty)\) nên nó cũng đồng biến trên khoảng con \((1;2)\) chẳng hạn.