Đáp án thi học kì 2 Toán 11 2015 - 2016 NHC

ĐỀ

Câu 1. (2 điểm) Tính các giới hạn

1. \(\mathop{\lim}\limits_{x\to4^-}\dfrac{3+x}{8-2x}\)
2. \(\mathop{\lim}\limits_{x\to-\infty}\dfrac{2x-\sqrt{4x^2+x+4}}{x+1}\)

Câu 2. (2 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số

1. \(y=\dfrac{\cos x-\dfrac{\pi}{6}}{2x-1}\)
2. \(y=2x^3.\sqrt{3x^2+x}\)

Câu 3. (1.5 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=x^3-3x^2+2\), biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng \(-3\).

Câu 4. (1 điểm) Cho hàm số \(f(x)=\dfrac{\sin3x}{3}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cos3x+2x\). Giải phương trình \(f'(x)=0.\)

Câu 5. (3.5 điểm)Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông \(ABCD\) tâm \(O,\) cạnh \(a.\) Cạnh bên \(SA\bot(ABCD)\) và cạnh bên \(SB=a\sqrt{5}.\)

1. Chứng minh tam giác \(SCD\) là tam giác vuông.
2. Tính góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \((SAC).\)
3. Gọi \(I\) là trung điểm của \(SD.\) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(OI\) và \(SC.\)

ĐÁP ÁN

Câu 1. Tính các giới hạn

1. \(\mathop{\lim}\limits_{x\to4^-}\dfrac{3+x}{8-2x}=+\infty\)   (0.25)

Vì \(\mathop{\lim}\limits_{x\to4^-}(3+x)=7>0\)   (0.25)

\(\mathop{\lim}\limits_{x\to4^-}(8-2x)=0\)   (0.25)

Khi \(x\to4^-\) thì \(8-2x>0\)   (0.25)

2. \(\mathop{\lim}\limits_{x\to-\infty}\dfrac{2x-\sqrt{4x^2+x+4}}{x+1}=\mathop{\lim}\limits_{x\to-\infty}\dfrac{2x+x\sqrt{4+\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{x^2}}}{x+1}\)   (0.25)

\(=\mathop{\lim}\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x\left(2+\sqrt{4+\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{x^2}}\right)}{x\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}\)   (0.25)

\(=\mathop{\lim}\limits_{x\to-\infty}\dfrac{2+\sqrt{4+\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{x^2}}}{1+\dfrac{1}{x}}\)   (0.25)

\(=4\)   (0.25)

Câu 2.

1. \(y'=\dfrac{\left(\cos x-\dfrac{\pi}{6}\right)'(2x-1)-(2x-1)'\left(\cos x-\dfrac{\pi}{6}\right)}{(2x-1)^2}\)   (0.5)

\(=\dfrac{-\sin x(2x-1)-2\left(\cos x-\dfrac{\pi}{6}\right)}{(2x-1)^2}\)   (0.5)

2. \(y'=\left(2x^3\right)'.\sqrt{3x^2+x}+2x^3.\left(\sqrt{3x^2+x}\right)'\)   (0.25)

\(=6x^2.\sqrt{3x^2+x}+2x^3.\dfrac{6x+1}{2\sqrt{3x^2+x}}\)   (0.25)

\(=\dfrac{24x^4+x^3}{\sqrt{3x^2+x}}\)   (0.25)

Câu 3.

\(y'=3x^2-6x\), gọi \(M(a;b)\) là tiếp điểm   (0.25)

\(y'(a)=-3\)   (0.25)

\(\Leftrightarrow3a^2-6a=-3\)   (0.25)

\(\Leftrightarrow a=1\)   (0.25)

Suy ra \(b=0\)   (0.25)

Phương trình tiếp tuyến \(y=-3x+3\)   (0.25)

Câu 4.

\(f'(x)=\cos3x-\sqrt{3}\sin3x+2\)   (0.25)

\(f'(x)=0\Leftrightarrow\cos3x-\sqrt{3}\sin3x+2\)   (0.25)

\(\Leftrightarrow\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{6}\right)=1\)   (0.25)

\(\Leftrightarrow3x-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3}\)   (0.25)

Câu 5.

Vẽ hình chóp   (0.5)

1. \(CD\bot AD\) (vì \(ABCD\) là hình vuông)   (0.25)

\(CD\bot SA\) (vì \(SA\bot(ABCD\))   (0.25)

Suy ra \(CD\bot(SAD)\)   (0.25)

Suy ra \(CD\bot SD\), suy ra tam giác \(SCD\) vuông tại \(D\)   (0.25)

2. 

Vì \(OI\parallel SB\) nên ta có mặt phẳng \((SBC)\) chứa \(SC\) và song song với \(OI\), suy ra \(\mathrm{d}(OI,SC)=\mathrm{d}(OI,(SBC))=\mathrm{d}(O,(SBC))=\dfrac{1}{2}\mathrm{d}(A,(SBC)).\)   (0.25)

Vẽ \(AH\bot SB\) tại \(H\), ta có \(AH\bot BC\) (vì \(BC\bot(SAB)\)). Suy ra \(AH\bot(SBC)\). Suy ra \(\mathrm{d}(A,(SBC))=AH.\) Ta có \(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AB^2}.\) Suy ra \(AH=\dfrac{2a\sqrt{10}}{5}.\) Vậy \(\mathrm{d}(OI,SC)=\dfrac{a\sqrt{10}}{5}.\)   (0.25)

Xem thêm:

Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Tỉ số khoảng cách từ 2 điểm đến cùng một mặt phẳng

Cách dựng đoạn vuông góc từ điểm đến mặt phẳng

Chú ý. Có mặt phẳng \((SAB)\) qua \(A\) và vuông góc với \((SBC)\) nên để tính khoảng cách từ \(A\) đến \((SBC)\) ta vẽ \(AH\) vuông góc với giao tuyến \(SB\) tại \(H.\)