Xét tính đơn điệu của hàm số

Định lý. Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b).\)

• Nếu \(f'(x)>0 \quad \forall x\in (a;b)\) thì hàm số \(f(x)\) đồng biến trên \((a;b).\)
• Nếu \(f'(x)<0 \quad \forall x\in (a;b)\) thì hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên \((a;b).\)

Ví dụ 1. Xét tính đơn điệu của hàm số \(y=\dfrac{x^3}{3}-x^2-3x-1.\)

Giải. Tập xác định \(D=\mathbb{R}.\)

Ta có \(y'=x^2-2x-3.\)

\(y'=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-1\\x=3\end{array}\right.\)

Bảng biến thiên của hàm số

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;-1),\) \((3;+\infty);\) nghịch biến trên khoảng \((-1;3).\)

Ví dụ 2. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(y=x^4-2x^2+3.\)

Giải. Tập xác định \(D=\mathbb{R}.\)

Ta có \(y'=4x^3-4x=4x(x^2-1).\)

\(y'=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0\\x=1\\x=-1\end{array}\right.\)

Bảng biến thiên của hàm số

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((-1;0),\) \((1;+\infty);\) nghịch biến trên khoảng \((-\infty;-1),\) \((0;1).\)

BÀI TẬP

Bài 1. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số

1. \(y=\dfrac{x^4}{4}-x^2\)
2. \(y=x^3-3x^2+3x\)
3. \(y=\dfrac{3x+3}{x}\)
4. \(y=\dfrac{x^2+1}{x}\)
5. \(y=x+2+\dfrac{2}{x+3}\)

Bài 2. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số

1. \(y=\sqrt{4-x}\)
2. \(y=\sqrt{4x-x^2}\)
3. \(y=\sqrt{x^2+x+1}\)
4. \(y=\dfrac{x}{x^2+1}\)
5. \(y=x^2(x-1)^3\)

Bài 3. Chứng minh rằng hàm số \(y=f(x)=x^3+\sqrt{x-1}-9\) đồng biến trên \((1;+\infty).\) (HK1 Đồng Nai 2014)