Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(M_0(x_0;y_0)\) là \[y-y_0=y'(x_0).(x-x_0)\]

Như vậy để viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm ta cần biết \(x_0, y_0, y'(x_0)\).

Ví dụ 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{2x+1}{x-1}\) tại điểm có hoành độ bằng 2.

Giải. Ta có \(y'=\dfrac{-3}{(x-1)^2}\).

Gọi \(M_0(x_0;y_0)\) là tiếp điểm, theo đề thì \(x_0=2\), ta có \(y_0=5\). Tiếp điểm là \(M_0(2;5)\). Ta có \(y'(2)=-3\). Phương trình tiếp tuyến là

\[\begin{array}{ll}&y-5=-3(x-2)\\ \Leftrightarrow & y=-3x+11\end{array}\]

Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{2x}{x+3}\) tại điểm có tung độ bằng 1.

Giải. Ta có \(y'=\dfrac{6}{(x+3)^2}\).

Gọi \(M_0(x_0;y_0)\) là tiếp điểm, theo đề thì \(y_0=1\), ta có \[\dfrac{2x_0}{x_0+3}=1\Leftrightarrow x_0=3.\] Ta được tiếp điểm là \(M_0(3;1)\). Ta có \(y'(3)=\dfrac{1}{6}\). Phương trình tiếp tuyến là

\[\begin{array}{ll}&y-1=\dfrac{1}{6}(x-3)\\ \Leftrightarrow & y=\dfrac{1}{6}x+\dfrac{1}{2}\end{array}\]

Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=x^4-4x-4\) tại giao điểm của đồ thị với trục tung.

Ví dụ 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=x^2-4x+3\) tại giao điểm của đồ thị với trục hoành.