Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc cho sẵn

Ta nhớ lại phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(M_0(x_0;y_0)\) là \[y-y_0=y'(x_0).(x-x_0)\]

Ở dạng bài toán này đề cho trước \(y'(x_0)=k\). Ta giải phương trình này tìm \(x_0\), từ đó suy ra \(y_0\) để viết phương trình tiếp tuyến.

Chú ý. Cho hai đường thẳng \(d_1: y=k_1x+m_1\) và \(d_2: y=k_2x+m_2\). Ta có

• \(d_1 \parallel d_2 \Leftrightarrow k_1=k_2\) và \(m_1 \ne m_2\).
• \(d_1 \bot d_2 \Leftrightarrow k_1.k_2=-1\).

Ví dụ 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=x^3-3x\) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(d: y=9x+16\).

Giải. \(y'=3x^2-3\). Gọi \(M_0(x_0;y_0)\) là tiếp điểm. Ta có hệ số góc của tiếp tuyến là \(y'(x_0)=3x_0^2-3\). Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng \(y=9x+16\) nên

\[\begin{array}{ll} & y'(x_0)=9\\ \Leftrightarrow & 3x_0^2-3=9\\ \Leftrightarrow & x_0=\pm 2\end{array}\]

Với \(x_0=2\) thì \(y_0=2\), ta có phương trình tiếp tuyến là

\[\begin{array}{ll}&y-2=9(x-2)\\ \Leftrightarrow & y=9x-16\quad \textrm{(nhận)}\end{array}\]

Với \(x_0=-2\) thì \(y_0=-2\), ta có phương trình tiếp tuyến là

\[\begin{array}{ll}&y+2=9(x+2)\\ \Leftrightarrow & y=9x+16 \quad \textrm{(loại)}\end{array}\]

Vậy có 1 tiếp tuyến có phương trình là \(y=9x-16\).

Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{-2}{x+1}\) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(d: y=-2x+5\).

Giải. \(y'=\dfrac{2}{(x+1)^2}\). Gọi \(M_0(x_0;y_0)\) là tiếp điểm. Ta có hệ số góc của tiếp tuyến là \(y'(x_0)=\dfrac{2}{(x_0+1)^2}\). Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(y=-2x+5\) nên

\[\begin{array}{ll} &y'(x_0).(-2)=-1\\ \Leftrightarrow & y'(x_0)=\dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow & \dfrac{2}{(x_0+1)^2}=\dfrac{1}{2} \\ \Leftrightarrow & (x_0+1)^2=4 \\ \Leftrightarrow & \left[\begin{array}{l}x_0=1\\ x_0=-3\end{array}\right.\end{array}\]

Với \(x_0=1\) thì \(y_0=-1\), ta có phương trình tiếp tuyến là

\[\begin{array}{ll}&y+1=\dfrac{1}{2}(x-1)\\ \Leftrightarrow & y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2}\end{array}\]

Với \(x_0=-3\) thì \(y_0=1\), ta có phương trình tiếp tuyến là

\[\begin{array}{ll}&y-1=\dfrac{1}{2}(x+3)\\ \Leftrightarrow & y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}\end{array}\]

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2}\) hoặc \(y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}.\)