Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm vuông góc với đường thứ nhất và cắt đường thứ hai

[Hình học 12, chương 3: Phương pháp toạ độ trong không gian]

Bài toán. Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \(d_1: \dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+2}{-1}=\dfrac{z-3}{1},\) \(d_2:\begin{cases} x=1-t \\ y=1+2t \\ z=-1+t \end{cases}\) và điểm \(A(1;2;3).\) Phương trình nào sau đây là phương trình của đường thẳng \(\Delta\) đi qua \(A,\) vuông góc với \(d_1\) và cắt \(d_2\)?
A. \(\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z-3}{-5}.\)
B. \(\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z-3}{-5}.\)
C. \(\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-3}=\dfrac{z-3}{-5}.\)
D. \(\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z-3}{5}.\)

Hướng dẫn giải.

Giả sử \(\Delta\) cắt \(d_2\) tại \(M\), ta có \(M(1-t;1+2t;-1+t).\) Ta có \(\overrightarrow{AM}=(-t;-1+2t;-4+t).\) Đường thẳng \(d_1\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_1}=(2;-1;1).\) Vì \(\Delta \perp d_1\) nên ta có \(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{u_1}=0.\)
\(\Leftrightarrow -2t+1-2t-4+t=0 \Leftrightarrow t=-1.\)
Từ đó ta có \(\overrightarrow{AM}=(1;-3;-5)\) là một vectơ chỉ phương của \(\Delta.\)
Vậy một phương trình của \(\Delta\) là \(\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-3}=\dfrac{z-3}{-5}.\)
Như vậy ta chọn C.