Vectơ trong không gian

Ta đã học về vectơ trong mặt phẳng ở lớp 10. Ở đó ta đã biết phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, tích vectơ với một số, góc giữa hai vectơ, tích vô hướng của hai vectơ. Toàn bộ các kiến thức về vectơ đã biết trong mặt phẳng được mở rộng ra không gian. Khi ra ngoài không gian, ta có thêm khái niệm ba vectơ đồng phẳng, sự phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng, điều kiện đồng phẳng của 3 vectơ.

1. Định nghĩa và các phép toán vectơ trong không gian

Ta nhắc lại và bổ sung một số kiến thức về vectơ ở lớp 10

a) Phép cộng vectơ, quy tắc 3 điểm

\[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\]

b) Phép trừ hai vectơ

\[\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{NM}\]

c) Quy tắc hình bình hành

Cho hình bình hành \(ABCD\), ta có \[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\]

d) Công thức trung tuyến

Cho \(AM\) là trung tuyến của tam giác \(ABC,\) ta có \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}\) suy ra \[\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\]

e) Trọng tâm tam giác

Cho \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(M\) là một điểm tuỳ ý, ta có

• \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
• \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}\)

f) Quy tắc hình hộp

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D',\) ta có \[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC}\]

2. Ba vectơ đồng phẳng

Định nghĩa. Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng là 3 đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng nào đó.

Ví dụ. Cho hình hộp \(ABCD.EFGH.\) Ta có ba vectơ \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BD}, \overrightarrow{EG}\) đồng phẳng. Ta có thể liệt kê nhiều bộ 3 vectơ không đồng phẳng khác nữa trong hình hộp này.

3. Phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng

Định lý 1. Cho 3 vectơ đồng phẳng \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c},\) trong đó \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) không cùng phương. Khi đó tồn tại duy nhất một bộ hai số \((m, n)\) sao cho \[\overrightarrow{c}=m.\overrightarrow{a}+n.\overrightarrow{b}\]

Đây là định lý tương tự định lý về sự phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương đã học ở lớp 10.

Định lý 2. Trong không gian cho 3 vectơ không đồng phẳng \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}.\) Khi đó với mọi vectơ \(\overrightarrow{x}\) luôn tồn tại duy nhất một bộ ba số \((m, n, p)\) sao cho \[\overrightarrow{x}=m.\overrightarrow{a}+n.\overrightarrow{b}+p.\overrightarrow{c}\]

Ví dụ 1. Cho hình hộp \(ABCD.EFGH,\) gọi \(M\) là trung điểm \(GH.\) Đặt \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{BA},\) \(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BC},\) \(\overrightarrow{c}=\overrightarrow{BF}.\) Tính \(\overrightarrow{EM}, \overrightarrow{AM}\) theo các vectơ \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}.\)