Vẽ bảng biến thiên trong TeX với tkz-tab

Tháng 8/2009 tôi có một bài viết ở kỷ yếu offline 2 của VietTUG về các cách vẽ bảng biến thiên trong TeX. Cho đến bây giờ thì việc vẽ bảng biến thiên trở nên dễ dàng hơn nhờ sự phát triển của Tikz với gói tkz-tab. So với những phương án trước đây thì mã lệnh của tkz-tab gọn hơn, có nhiều thông số cho phép ta tuỳ biến dáng vẻ của bảng biến thiên hơn. Dưới đây là bảng biến thiên hàm bậc 4 trùng phương \(y=-x^4+4x^2-3\) có 3 cực trị và mã lệnh.

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[nocadre=false,lgt=1,espcl=2]
{$x$ /1,$y'$ /1,$y$ /2}{$-\infty$,$-\sqrt{2}$,$0$,$\sqrt{2}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,$0$,-,$0$,+,$0$,-,}
\tkzTabVar{-/ $-\infty$ ,+/$1$,-/$-3$,+/$1$,-/$-\infty$}
\end{tikzpicture}

Bạn phải nạp gói tkz-tab trước khi sử dụng với lệnh \usepackage{tkz-tab}

Nội dung bảng biến thiên được đặt trong cặp

\begin{tikzpicture}
   ...
\end{tikzpicture}

Nếu muốn canh giữa bảng biến thiên thì đặt tất cả trong môi trường center

\begin{center}
   ...
\end{center}

Nội dung của bảng biến thiên có 3 dòng chính.

Cú pháp của dòng thứ nhất là

\tkzTabInit[Tuỳ chọn]{tiêu đề từng dòng}{các node của dòng đầu tiên}

Thuật ngữ node là tôi tự đặt để tiện cho việc giải thích mã lệnh. Tuỳ chọn nocadre=false cho phép vẽ khung viền bao bên ngoài bảng biến thiên, nếu đặt là true thì sẽ không có viền ngoài. Tuỳ chọn lgt=1 xác định cột đầu tiên của bảng biến thiên có chiều rộng là 1. Tuỳ chọn espcl=2 xác định chiều rộng của các cột (ảo) tiếp theo. Đoạn

{$x$ /1,$y'$ /1,$y$ /2}

dùng để khai báo 3 dòng: dòng \(x\) với chiều cao 1, dòng \(y'\) với chiều cao 1, dòng \(y\) với chiều cao 2 và được cách nhau bởi dấu phảy. Dấu / là quy ước để báo cho máy biết sau / là số xác định chiều cao của dòng. Đoạn

{$-\infty$,$-\sqrt{2}$,$0$,$\sqrt{2}$,$+\infty$}

dùng để khai báo 5 node gồm: \(-\infty\), 3 điểm cực trị và \(+\infty\). Các node cách nhau bởi dấu phảy.

Dòng thứ 2

\tkzTabLine{,+,$0$,-,$0$,+,$0$,-,}

dùng để điền dấu của đạo hàm. Như giải thích ở trên thì dòng đầu có 5 node, ta phải thêm vào 4 node để điền dấu của đạo hàm trên 4 khoảng nên được tổng cộng 9 node được cách nhau bởi dấu phảy. Nếu dòng 1 có n node thì dòng 2 sẽ có 2n-1 node.

Dòng thứ 3

\tkzTabVar{-/ $-\infty$ ,+/$1$,-/$-3$,+/$1$,-/$-\infty$}

để vẽ các mũi tên thể hiện sự biến thiên của hàm số. Các node được ngăn cách nhau bởi dấu phảy. Trong mỗi node có dấu /, trước dấu / là + hoặc - tương ứng với đầu mũi tên ở trên cao hoặc dưới thấp. Sau dấu / là nội dung cần điền vào đầu hoặc cuối mỗi mũi tên.

Như vậy, các tất cả nội dung cơ bản của một bảng biến thiên đã được giải thích.

Sau đây ta vẽ bảng biến thiên của hàm có điểm không xác định. Dưới đây là bảng biến thiên của hàm nhất biến \(y=\dfrac{2x+2}{2x+1}.\)

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[nocadre=false,lgt=1,espcl=3]
{$x$ /1,$y'$ /1,$y$ /2}{$-\infty$,$-\dfrac{1}{2}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-, d ,-,}
\tkzTabVar{+/ $1$ / , -D+/ $-\infty$ / $+\infty$ , -/ $1$ /}
\end{tikzpicture}

Bảng này chỉ khác bảng đầu tiên ở chỗ không xác định ở dòng 2 và dòng 3. Kí hiệu d ở dòng thứ 2 để chỉ rằng hàm số không xác định tại đó và sẽ vẽ dấu 2 gạch sọc đứng ở dòng xét dấu đạo hàm. Node 2 ở dòng thứ 3 là

-D+/ $-\infty$ / $+\infty$

Trong đó kí hiệu D dùng để chỉ điểm không xác định. Trước D là dấu + và sau là dấu - nghĩa là ta sẽ đặt nội dung bên trái 2 gạch sọc ở thấp, còn bên phải là ở cao, nội dung đặt vào mỗi bên được viết sau dấu /.

Sau đây là bảng biến thiên của hàm bậc 3 tăng trên \(\mathbb{R}\) và đạo hàm có nghiệm kép. Sự khác biệt ở đây là ta cần vẽ mũi tên băng qua nghiệm của đạo hàm. Việc đó được thực hiện bằng kí hiệu R.

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[nocadre=false,lgt=1,espcl=3]
{$x$ /1,$y'$ /1,$y$ /2}{$-\infty$,$-1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,0,+,}
\tkzTabVar{-/ $-\infty$ / ,R, +/ $+\infty$ /}
\end{tikzpicture}

Với những hướng dẫn trên đây, bạn đã có thể tự vẽ bảng biến thiên của các hàm thông dụng trong câu khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trong các kì thi bao gồm hàm đa thức bậc 3, 4, hàm nhất biến. Kì sau tôi sẽ hướng dẫn bạn cách vẽ cho những hàm có những khoảng không xác định chẳng hạn như hàm \(y=\sqrt{x^2-4}.\)

Bạn có thể tham khảo thêm hướng dẫn sử dụng của gói tkz-tab, chịu khó đọc tiếng Pháp nhé.

Tải tập tin chứa các ví dụ ở bài viết này: bangbienthien.tex.

Mời các thầy cô giáo dạy Toán bình luận ở dưới để được giải đáp thắc mắc hoặc yêu cầu nội dung khác.