Toán học, vật lý và âm nhạc

Trong vật lý, sóng âm là sóng cơ lan truyền trong môi trường vật chất (rắn, lỏng, khí). Những sóng âm có tần số từ 16Hz đến 20kHz gây ra được cảm giác ở tai người nên gọi là âm thanh. Thực ra thì những âm thanh quá trầm hoặc quá cao rất khó nghe (khó chịu). Bạn có thể phát hiện ra điều đó bằng cách xe thử âm thanh phát ra theo tần số từ nhỏ đến lớn trong đoạn video dưới đây.

Đa số chúng ta không nghe được âm thanh trên 16kHz. Việc nghe được những âm thanh có tần số cao hay thấp đến mức độ nào tuỳ thuộc vào từng người.

Những âm thanh có tần số xác định gọi là nhạc âm. Âm thanh do các nhạc cụ phát ra, tiếng nói, tiếng hát của con người là các nhạc âm. Tạp âm là những âm không có tần số xác định. Tiếng ồn xung quanh ta là tạp âm.

Giọng nói của người là nhạc âm. Âm thanh khi ta phát âm một tiếng có tần số nhất định. Giọng nói của một người nam trưởng thành vào khoảng từ 85Hz đến 155Hz, giọng nữ vào khoảng từ 165Hz đến 255Hz, giọng trẻ em là từ 250 đến 300Hz. Ca sĩ khi cố tình hát cao hoặc thấp thì có thể phát ra âm thanh có tần số ở ngoài dải tần số của giọng nói bình thường. Khoảng cách từ nốt cao nhất với nốt thấp nhất mà một ca sĩ có thể phát âm còn rõ tiếng gọi là âm vực. Bằng Kiều là một trong những ca sĩ có âm vực khá rộng.

Bạn có biết rằng mội nốt nhạc có một tần số tương ứng không? Đề thi đại học năm môn Vật lý năm 2014 mã đề 259 ở câu 5 liên quan đến Toán học, Vật lý và âm nhạc có nội dung như sau:

Trong âm nhạc, khoảng cách giữa hai nốt nhạc trong một quãng được tính bằng cung và nửa cung (nc). Mỗi quãng tám được chia thành 12 nc. Hai nốt nhạc cách nhau nửa cung thì hai âm (cao, thấp) tương ứng với hai nốt nhạc này có tần số thoả mãn \(f_c^{12}=2f_t^{12}.\) Tập hợp tất cả các âm trong một quãng tám gọi là một gam (âm giai). Xét một gam với khoảng cách từ nốt Đồ đến các nốt tiếp theo Rê, Mi, Fa, Sol, La, Si, Đô tương ứng là 2 nc, 4 nc, 5 nc, 7 nc, 9nc, 11 nc, 12 nc. Trong gam này, nếu âm tương ứng với nốt La có tần số 440 Hz thì âm tương ứng với nốt Sol có tần số là

A. 330Hz. B. 415 Hz. C. 392 Hz. D. 494 Hz.

Có vài khái niệm mới bên âm nhạc mà một học sinh bình thường không biết nhạc sẽ gặp khó khăn như: quãng, quãng tám, gam, cung, nửa cung.

Ta quan sát bàn phím của cây đàn Piano.

Piano Frequencies svg

36 key keyboard chart jpg

Người ta kí hiệu nốt trắng liền trái nhóm 2 nốt đen là nốt Đô, các nốt trắng tiếp theo bên phải là Rê, Mi, Fa, Sol, La, Si rồi quay lại Đô. Người ta kí hiệu tên các nốt nhạc từ La là A, B, C, D, E, F, G. Quan sát trên bàn phím piano ta còn thấy các nốt đen có thăng (#) và giáng (b). Chú ý rằng C# bằng Db. Hai nốt liên tiếp (cả đen và trắng) cách nhau nửa cung. Khoảng cách từ nốt Đô này đến nốt Đô tiếp theo là một quãng tám. Trong một quãng tám có 12 nửa cung. Đàn piano có 88 kím với khoảng hơn 7 quãng tám. Nốt thấp nhất trên đàn piano được kí hiệu là A0. Cứ thế đếm lên đến nốt A4 (màu vàng) có tần số là 440Hz. Nốt A5 có tần số gấp 2 lần nốt A4. Có một quy luật là hai nốt cách nhau một quãng tám có tần số gấp 2 lần nhau. Như vậy nốt A5 có tần số là 880Hz. Tần số \(f_n\) của một nốt nhạc nào đó cách nốt A4 \(n\) lần nửa cung được tính bởi công thức

\[f_n=440.2^{\frac{n}{12}}\]

Công thức này áp dụng được cả cho trường hợp \(n<0.\) Kiến thức toán học liên quan ở đây là hàm số mũ.

Ta quay lại với câu hỏi vật lý trên, nốt Sol ở dưới nốt La (440Hz) 2 nửa cung (ứng với \(n=-2\)). Do đó tần số của nốt Sol ở câu hỏi đó là

\[f_{-2}=440.2^{\frac{-2}{12}}\approx 391.995\approx 392\]

Vậy ta chọn đáp án C. 392Hz.

Với công thức trên ta tính được tần số của nốt thấp nhất trên đàn piano (A0) là 27.5Hz và nốt cao nhất (C8) là 4186.01Hz.

Những nhạc cụ khác như Guitar, Violin, Flute thì sao? Nốt thấp nhất của guitar là nốt E2 với tần số 82.4Hz.

Cùng một nốt nhạc với cùng tần số do piano và guitar phát ra tai ta vẫn phân biệt được. Sở dĩ ta phân biệt được là do âm sắc của chúng. Âm sắc của một nốt nhạc phụ thuộc vào đồ thị của sóng âm đó. Sự khác nhau về âm sắc của cùng một nốt nhạc do piano và guitar phát ra được thể hệ bở đồ thị dưới đây. Sóng âm trong video ở trên là sóng sin, nghe như tiếng bíp vô hồn chứ không có hồn như nhạc cụ guitar hay piano, …

waveformofguitarandpiano png