Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Chú ý.

• \(\sqrt{A}\) có nghĩa khi và chỉ khi \(A\ge0.\)
• \(\dfrac{1}{\sqrt{A}}\) có nghĩa khi và chỉ khi \(A>0.\)
• \(\dfrac{A}{B}\) có nghĩa khi và chỉ khi \(B\ne0\) và \(A\) có nghĩa.

Cần nhớ một số công thức:

• \(\sin x=1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\)
• \(\sin x=-1\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\)
• \(\sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi\)
• \(\cos x=1\Leftrightarrow x=k2\pi\)
• \(\cos x=-1\Leftrightarrow x=\pi+k2\pi\)
• \(\cos x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)

Ta có \(-1\le\sin x, \cos x\le1\;\forall x\in\mathbb{R}.\) Từ đó suy ra một số biến đổi tương đương sau

• \(\sin x>-1 \Leftrightarrow \sin x\ne -1\)
• \(\sin x<1 \Leftrightarrow \sin x\ne 1\)
• \(\sin x\ge-1 \Leftrightarrow x\in\mathbb{R}\)
• \(\sin x\le1 \Leftrightarrow x\in\mathbb{R}\)

Suy luận tương tự đối với \(\cos x.\)

Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau

1. \(y=\tan\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)+\sin x\)
2. \(y=\dfrac{\sin x}{\cos x+1}\)
3. \(y=\dfrac{\tan x}{\cos 2x+2}\)
4. \(y=\sqrt{1+\sin x}\)
5. \(y=\dfrac{1}{\sqrt{1+\cos x}}\)

Bài 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau

1. \(y=\cot\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)\)
2. \(y=\dfrac{\tan2x}{\sin x+2}\)
3. \(y=\dfrac{\tan x}{\sin x\cos x}\)
4. \(y=\sqrt{1+\cos2x}\)
5. \(y=\sqrt{\dfrac{1+\cos2x}{1-\cos2x}}\)

Bài 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau

1. \(y=\dfrac{1+\sin x}{\cos x}\)
2. \(y=\sqrt{\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}}\)
3. \(y=\cot{(x-\dfrac{\pi}{6})}\)
4. \(y=\tan{(2x+\dfrac{\pi}{3})}\)
5. \(y=\sin{\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}}\)
6. \(y=\cos{\sqrt{x}}\)
7. \(y=\cos{\dfrac{1}{x+1}}\)
8. \(y=\dfrac{2}{3\sin x}\)
9. \(y=\dfrac{1}{2-2\cos x}\)
10. \(y=\dfrac{\sin x}{\cos x+2}\)

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1.

1. \(y=\tan\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)+\sin x.\) Hàm số xác định khi và chỉ khi \[\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)\ne 0 \Leftrightarrow x +\dfrac{\pi}{3} \ne \dfrac{\pi}{2} +k\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi}{6}+k\pi .\] Vậy tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{\dfrac{\pi}{6}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\right\}.\)