Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Phương pháp: Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng đó.

Ví dụ 1. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBD)\).

Phân tích. Điểm chung thứ nhất là \(S\). Điểm chung thứ hai là giao điểm của \(AC\) và \(BD\) (vì hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau).

Lời giải. Ta có \(S \in (SAC) \cap (SBD)\) (1).

Trong mặt phẳng \((ABCD)\), gọi \(O=AC \cap BD\). Ta có \[\left.\begin{array}{l}O \in AC \subset (SAC) \\ O \in BD \subset (SBD)\end{array}\right\}\Longrightarrow O \in (SAC) \cap (SBD) \quad (2)\] Từ (1) và (2) suy ra \(SO=(SAC) \cap (SBD).\)

Ví dụ 2. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

1. \((SAC)\) và \((SBD)\).
2. \((SAB)\) và \((SCD)\).
3. \((SAD)\) và \((SBC)\).

Phân tích.

1. Tương tự ví dụ 1.
2. Điểm chung thứ nhất là \(S\). Điểm chung thứ hai là giao điểm \(E\) của \(AB\) và \(CD\) (vì tứ giác \(ABCD\) có hai cặp cạnh đối không song song nên khi kéo dài hai cạnh đối diện chúng cắt nhau).
3. Tương tự câu b.

Chú ý.

Khi nối thêm một đoạn thẳng, có thể đoạn thẳng đã vẽ trước đó bị che khuất. Khi đó ta phải sửa đường đã vẽ trước đó thành nét khuất.

Lời giải.

1. Tương tự ví dụ trên.

2. Ta có \(S \in (SAB) \cap (SCD)\) (1).

   Trong mặt phẳng \((ABCD)\), gọi \(E=AB \cap CD\). Ta có \[\left.\begin{array}{l}E \in AB \subset (SAB) \\ E \in CD \subset (SCD)\end{array}\right\}\Longrightarrow E \in (SAB) \cap (SCD) \quad (2)\] Từ (1) và (2) suy ra \(SE=(SAB) \cap (SCD)\)

3. Tương tự câu b.

Ví dụ 3.

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(I, J\) lần lượt là trung điểm \(AC, BC\). \(K\) là điểm thuộc đoạn thẳng \(BD\) sao cho \(KD < KB\). Tìm giao tuyến của

1. \((IJK)\) và \((ACD)\).
2. \((IJK)\) và \((ABD)\).

Phân tích.

1. Điểm chung thứ nhất là \(I\). Tam giác \(BCD\) có \(J\) là trung điểm \(BC\), \(K\) không là trung điểm của \(BD\) nên \(JK\) không song song với \(CD\). Do đó kéo dài \(JK\) và \(CD\) cắt nhau tại \(E\) và \(E\) chính là điểm chung thứ hai.
2. Điểm chung thứ nhất là \(K\). Mặt phẳng \((IJK)\) bây giờ cũng chính là mặt phẳng \((IJE)\). Hai đường thẳng \(IE\) và \(AD\) cùng nằm trong mặt phẳng \((ACD)\) nên cắt nhau tại \(F\) và \(F\) chính điểm chung thứ hai.
3. \[\left.\begin{array}{l}I \in (IJK) \\ I \in AC \subset (ACD)\end{array}\right\}\Longrightarrow I \in (IJK) \cap (ACD) \quad (1)\] Trong mặt phẳng \((BCD)\), gọi \(E=JK \cap CD\). Ta có \[\left.\begin{array}{l}E \in JK \subset (IJK) \\ E \in CD \subset (ACD)\end{array}\right\}\Longrightarrow E \in (IJK) \cap (ACD) \quad (2)\] Từ (1) và (2) suy ra \(IE=(IJK) \cap (ACD)\)
4. \[\left.\begin{array}{l}K \in (IJK) \\ K \in BD \subset (ABD)\end{array}\right\}\Longrightarrow K \in (IJK) \cap (ABD) \quad (1)\] Trong mặt phẳng \((ACD)\), gọi \(F=IE \cap AD\). Ta có \[\left.\begin{array}{l}F \in IE \subset (IJK) \\ F \in AD \subset (ABD)\end{array}\right\}\Longrightarrow F \in (IJK) \cap (ABD) \quad (2)\] Từ (1) và (2) suy ra \(KF=(IJK) \cap (ABD)\)

Xem thêm Video có lời giải: https://www.youtube.com/watch?v=YIEHtsM6OAU

BÀI TẬP

1. Cho chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(M,N\) là trung điểm \(SB,SD\), \(P\) thuộc đoạn thẳng \(SC\) sao cho \(PC< PS\). Tìm giao tuyến của:
   1. \((SAC)\) và \((SBD)\)
   2. \((MNP)\) và \((SAC)\)
   3. \((MNP)\) và \((SAB)\)
   4. \((MNP)\) và \((SAD)\)
   5. \((MNP)\) và \((ABCD)\)
2. Cho chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang, \(AD\) là đáy lớn. Gọi \(M,N\) là trung điểm \(BC,CD.\) Tìm giao tuyến của:
   1. \((SAC)\) và \((SBD)\)
   2. \((SMN)\) và \((SAD)\)
   3. \((SAB)\) và \((SCD)\)
   4. \((SMN)\) và \((SAC)\)
   5. \((SMN)\) và \((SAB)\)
3. Cho chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(I,J,K\) lần lượt là trung điểm của \(BC,CD,SA.\) Tìm giao tuyến của:
   1. \((IJK)\) và \((SAB)\)
   2. \((IJK)\) và \((SAD)\)
   3. \((IJK)\) và \((SBC)\)
   4. \((IJK)\) và \((SCD)\)
4. Cho chóp \(S.ABCD\) đáy là hình thang đáy lớn \(AD\). Gọi \(I\) là trung điểm \(SA\), \(J\) thuộc đoạn thẳng \(AD\) sao cho \(JD=\dfrac{1}{4}AD\); \(K\) thuộc đoạn thẳng \(SB\) sao cho \(SK=2BK\). Tìm giao tuyến của:
   1. \((IJK)\) và \((ABCD)\)
   2. \((IJK)\) và \((SBD)\)
   3. \((IJK)\) và \((SBC)\)
5. Cho chóp \(S.ABCD\) có đáy hình bình hành tâm \(O.\) Lấy \(N,M\) lần lượt thuộc \(SA, SB\) sao cho \(BM=\dfrac{1}{4}BS\); \(SN=\dfrac{3}{4}SA\). Tìm giao tuyến của:
   1. \((OMN)\) và \((SAB)\)
   2. \((OMN)\) và \((SAD)\)
   3. \((OMN)\) và \((SBC)\)
   4. \((OMN)\) và \((SCD)\)