Trước tiên ta cần nhớ lại các công thức về so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với số 0 ở đây (điều kiện để phương trình có hai nghiệm dương, âm, trái dấu, cùng dấu).
Ví dụ 1. Tìm m để phương trình (m−1)x2−2(m+3)x−m+2=0(1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thoả mãn x1<1<x2.
Giải. Để so sánh nghiệm x với số 1, ta đặt y=x−1 và ta sẽ so sánh nghiệm y với số 0. Ta có phương trình mới
(m−1)(y+1)2−2(m+3)(y+1)−m+2=0(2)
Phương trình (1) có nghiệm x1<1<x2 khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm y1<0<y2.
Phương trình (2) được viết lại thành
(m−1)(y2+2y+1)−2(m+3)y−2(m+3)−m+2=0
⇔(m−1)y2+2(m−1)y+m−1−2(m+3)y−2(m+3)−m+2=0
⇔(m−1)y2−8y−2m−5=0(3)
Phương trình (1) có x1<1<x2 khi và chỉ khi (3) có hai nghiệm phân biệt y1;y2 trái dấu
⇔(m−1)(−2m−5)<0⇔ m<−25 hoặc m>1.
Ngoài ra, ta có các công thức sau đây (chương trình SGK cũ)
Phương trình f(x)=ax2+bx+c=0
- Có hai nghiệm phân biệt x1<x0<x2 khi và chỉ khi a.f(x0)<0
- Có hai nghiệm phân biệt x1<x2<x0 khi và chỉ khi ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧Δ>0a.f(x0)>0−2ab<x0
- Có hai nghiệm phân biệt x0<x1<x2 khi và chỉ khi ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧Δ>0a.f(x0)>0−2ab>x0
- Có hai nghiệm phân biệt x1,x2 cùng lớn hoặc cùng bé hơn x0 (cùng phía với x0) khi và chỉ khi {Δ>0a.f(x0)>0
Áp dụng công thức này, ta giải lại ví dụ trên như sau:
Ví dụ 1. Tìm m để phương trình f(x)=(m−1)x2−2(m+3)x−m+2=0(1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thoả mãn x1<1<x2.
Giải. Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1<1<x2 khi và chỉ khi
(m−1).f(1)<0⇔(m−1)(−2m−5)<0