So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với số bất kì

Trước tiên ta cần nhớ lại các công thức về so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với số 0 ở đây (điều kiện để phương trình có hai nghiệm dương, âm, trái dấu, cùng dấu).

Ví dụ 1. Tìm \(m\) để phương trình \((m-1)x^2-2(m+3)x-m+2=0 \; (1)\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) thoả mãn \(x_1<1<x_2.\)

Giải. Để so sánh nghiệm \(x\) với số 1, ta đặt \(y=x-1\) và ta sẽ so sánh nghiệm \(y\) với số \(0\). Ta có phương trình mới
\((m-1)(y+1)^2-2(m+3)(y+1)-m+2=0 \; (2)\)
Phương trình (1) có nghiệm \(x_1<1<x_2\) khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm \(y_1<0<y_2\).
Phương trình (2) được viết lại thành
\((m-1)(y^2+2y+1)-2(m+3)y-2(m+3)-m+2=0\)
\(\Leftrightarrow (m-1)y^2+2(m-1)y+m-1-2(m+3)y-2(m+3)-m+2=0\)
\(\Leftrightarrow (m-1)y^2-8y-2m-5=0 \; (3)\)
Phương trình (1) có \(x_1<1<x_2\) khi và chỉ khi (3) có hai nghiệm phân biệt \(y_1; y_2\) trái dấu
\(\Leftrightarrow (m-1)(-2m-5)<0 \Leftrightarrow\) \(m<-\dfrac{5}{2}\) hoặc \(m>1.\)

Ngoài ra, ta có các công thức sau đây (chương trình SGK cũ)

Phương trình \(f(x)=ax^2+bx+c=0\)

• Có hai nghiệm phân biệt \(x_1<x_0<x_2\) khi và chỉ khi \(a.f(x_0)<0\)
• Có hai nghiệm phân biệt \(x_1<x_2<x_0\) khi và chỉ khi \(\begin{cases} \Delta >0 \\ a.f(x_0)>0 \\ -\dfrac{b}{2a} <x_0 \end{cases}\)
• Có hai nghiệm phân biệt \(x_0<x_1<x_2\) khi và chỉ khi \(\begin{cases} \Delta >0 \\ a.f(x_0)>0 \\ -\dfrac{b}{2a} >x_0 \end{cases}\)
• Có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) cùng lớn hoặc cùng bé hơn \(x_0\) (cùng phía với \(x_0\)) khi và chỉ khi \(\begin{cases} \Delta >0 \\ a.f(x_0)>0 \end{cases}\)

Áp dụng công thức này, ta giải lại ví dụ trên như sau:

Ví dụ 1. Tìm \(m\) để phương trình \(f(x)=(m-1)x^2-2(m+3)x-m+2=0 \; (1)\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) thoả mãn \(x_1<1<x_2.\)

Giải. Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1<1<x_2\) khi và chỉ khi
\((m-1).f(1)<0 \Leftrightarrow (m-1)(-2m-5)<0\)