So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với số bất kì

Trước tiên ta cần nhớ lại các công thức về so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với số 0 ở đây (điều kiện để phương trình có hai nghiệm dương, âm, trái dấu, cùng dấu).

Ví dụ 1. Tìm mm để phương trình (m1)x22(m+3)xm+2=0  (1)(m-1)x^2-2(m+3)x-m+2=0 \; (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2x_1, x_2 thoả mãn x1<1<x2.x_1<1<x_2.

Giải. Để so sánh nghiệm xx với số 1, ta đặt y=x1y=x-1 và ta sẽ so sánh nghiệm yy với số 00. Ta có phương trình mới
(m1)(y+1)22(m+3)(y+1)m+2=0  (2)(m-1)(y+1)^2-2(m+3)(y+1)-m+2=0 \; (2)
Phương trình (1) có nghiệm x1<1<x2x_1<1<x_2 khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm y1<0<y2y_1<0<y_2.
Phương trình (2) được viết lại thành
(m1)(y2+2y+1)2(m+3)y2(m+3)m+2=0(m-1)(y^2+2y+1)-2(m+3)y-2(m+3)-m+2=0
(m1)y2+2(m1)y+m12(m+3)y2(m+3)m+2=0\Leftrightarrow (m-1)y^2+2(m-1)y+m-1-2(m+3)y-2(m+3)-m+2=0
(m1)y28y2m5=0  (3)\Leftrightarrow (m-1)y^2-8y-2m-5=0 \; (3)
Phương trình (1) có x1<1<x2x_1<1<x_2 khi và chỉ khi (3) có hai nghiệm phân biệt y1;y2y_1; y_2 trái dấu
(m1)(2m5)<0\Leftrightarrow (m-1)(-2m-5)<0 \Leftrightarrow m<52m<-\dfrac{5}{2} hoặc m>1.m>1.

Ngoài ra, ta có các công thức sau đây (chương trình SGK cũ)

Phương trình f(x)=ax2+bx+c=0f(x)=ax^2+bx+c=0

  • Có hai nghiệm phân biệt x1<x0<x2x_1<x_0<x_2 khi và chỉ khi a.f(x0)<0a.f(x_0)<0
  • Có hai nghiệm phân biệt x1<x2<x0x_1<x_2<x_0 khi và chỉ khi {Δ>0a.f(x0)>0b2a<x0 \begin{cases} \Delta >0 \\ a.f(x_0)>0 \\ -\dfrac{b}{2a} <x_0 \end{cases}
  • Có hai nghiệm phân biệt x0<x1<x2x_0<x_1<x_2 khi và chỉ khi {Δ>0a.f(x0)>0b2a>x0 \begin{cases} \Delta >0 \\ a.f(x_0)>0 \\ -\dfrac{b}{2a} >x_0 \end{cases}
  • Có hai nghiệm phân biệt x1,x2x_1, x_2 cùng lớn hoặc cùng bé hơn x0x_0 (cùng phía với x0x_0) khi và chỉ khi {Δ>0a.f(x0)>0\begin{cases} \Delta >0 \\ a.f(x_0)>0 \end{cases}

Áp dụng công thức này, ta giải lại ví dụ trên như sau:

Ví dụ 1. Tìm mm để phương trình f(x)=(m1)x22(m+3)xm+2=0  (1)f(x)=(m-1)x^2-2(m+3)x-m+2=0 \; (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2x_1, x_2 thoả mãn x1<1<x2.x_1<1<x_2.

Giải. Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1<1<x2x_1<1<x_2 khi và chỉ khi
(m1).f(1)<0(m1)(2m5)<0(m-1).f(1)<0 \Leftrightarrow (m-1)(-2m-5)<0

Cùng chuyên mục:

MỚI CẬP NHẬT