Phương trình tương đương và phương trình hệ quả

1. Phương trình tương đương

Hai phương trình (1) và (2) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm, ta viết \((1) \Leftrightarrow (2).\) Ví dụ hai phương trình sau là tương đương

\[\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{3}=x\quad \text{và}\quad 3x+2=6x\]

2. Phép biến đổi tương đương

Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình gọi là phép biến đổi tương đương. Ta có một số phép biến đổi tương đương đã biết sau

• Cộng hoặc trừ cả hai vế với cùng một số hoặc biểu thức.
• Chuyển một số hoặc biểu thức từ vế này sang vế kia và đổi dấu.
• Nhân hoặc chia hai vế của phương trình với cùng một số hoặc biểu thức khác 0.

Chú ý. Các phép biến đổi trên không làm thay đổi điều kiện của phương trình thì mới được phương trình tương đương

3. Phương trình hệ quả

Gọi \(S_1, S_2\) lần lượt là tập nghiệm của hai phương trình (1) và (2). Ta nói phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1) khi \(S_1 \subset S_2.\) Ta viết \((1) \Rightarrow (2).\)

Ví dụ 1. Cho hai phương trình:

\[x+1=2x-1 \quad (1)\] \[\left(x+1\right)^2=\left(2x-1\right)^2\quad (2)\]

Hai phương trình trên có tương đương không? Phương trình này có là phương trình hệ quả của phương trình kia không?

Chú ý. Phép bình phương hai vế một phương trình không phải là phép biến đổi tương đương mà chỉ là phép biến đổi hệ quả.

Ví dụ 2. Cho hai phương trình:

\[\sqrt{x+2}=x-4 \quad (1)\] \[x+2=(x-4)^2 \quad (2)\]

Hai phương trình trên có tương đương không? Phương trình này có là phương trình hệ quả của phương trình kia không?

Khi hai vế của phương trình đều không âm, phương hai vế của phương trình ta được một phương trình tương đương.

Công thức

\[\sqrt{A}=B\Leftrightarrow\begin{cases}B\ge0\\A=B^2\end{cases}\]

BÀI TẬP

Bài 1. Cho phương trình \[(x+1)^2=0 \quad (1) \text{ và } ax^2-2(2a+1)x+a=0 \quad (2)\] Tìm giá trị của $a$ sao cho phương trình (1) tương đương với phương trình (2).

Bài 2. Cho hai phương trình \(x-3=2\) và \((x-3)^2=4\). Phương trình nào là phương trình hệ quả của phương trình nào, vì sao?

Bài 3. Tìm tập nghiệm của hai phương trình $\sqrt{x+9}=x-3$ và $x+9=(x-3)^2$. Hai phương trình trên có tương đương hay không?

Bài 4. Tìm tập nghiệm của hai phương trình $\sqrt{x^4+4}=x^2+2$ và $x^4+4=(x^2+2)^2$. Hai phương trình trên có tương đương hay không?