Phương trình thuần nhất bậc hai theo sinx và cosx

Là phương trình dạng \[a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=0\]

Cách giải. Xét 2 trường hợp

• Trường hợp 1: Nếu \(\cos x=0\) (\(\sin^2x=1\)) thế vào phương trình kiểm tra có thỏa mãn không.
• Trường hợp 2: Nếu \(\cos x\ne0\), chia 2 vế của phương trình cho \(\cos^2x\) để đưa về phương trình bậc hai theo \(\tan x.\)

Chú ý.

• Phương pháp trên vẫn áp dụng được cho phương trình \[a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=d\] Khi đó ta dùng \(\dfrac{1}{\cos^2x}=1+\tan^2x.\)
• Ta có thể chia 2 vế cho \(\cos^2x\) thay vì chia cho \(\sin^2x.\)
• Phương trình thuần nhất bậc 3 thì ta chia 2 vế cho \(\cos^3x\) hoặc \(\sin^3x.\) Chẳng hạn phương trình \[a\sin^3x+b\sin^2x\cos x+c\sin x\cos^2x+d\cos^3x=0\] hoặc \[a\sin^3x+b\sin^2x\cos x+c\sin x\cos^2x+d\cos^3x+e\sin x+f\cos x=0\]

Ví dụ 1. Giải phương trình \(\sin^2x+3\sin x\cos x+2\cos^2x=0.\)

Giải. Nếu \(\cos x=0\) thì \(\sin^2x=1\), thay vào phương trình ta được \(1=0\). Suy ra \(\cos x=0\) không thoả mãn phương trình.

Nếu \(\cos x\ne0\), chia 2 vế của phương trình cho \(\cos^2x\) ta được \[\begin{array}{ll}&\tan^2x+3\tan x+2=0\\ \Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}\tan x=-1\\ \tan x=-2\end{array}\right.\end{array}\]