Phương trình thuần nhất bậc hai hai ẩn

Phương trình thuần nhất bậc hai hai ẩn là phương trình dạng \[ax^2+bxy+cy^2=0\] Ta xem đây là phương trình bậc 2 theo ẩn \(x\) rồi đi tính \(\Delta\) theo \(y\). Nếu \(\Delta \ge 0\) thì phương trình này có nghiệm và ta có thể tính được \(x\) theo \(y\) dưới dạng \(x=ky.\)

Ví dụ. Giải phương trình \(8x^2=\left(2x-2\sqrt{x}+1\right)\left(1-2\sqrt{x}\right)\)

Giải. Điều kiện \(x\ge0.\) Đặt \(t=\sqrt{x},\) với \(t\ge0\) ta có phương trình \(8t^4=(2t^2-2t+1)(1-2t).\) Đặt \(u=2t^2\) và \(v=1-2t\) ta có phương trình \(2u^2=(u+v)v\Leftrightarrow2u^2-uv-v^2=0\). Xem đây là phươngt trình bậc hai theo ẩn \(u\), ta có \(\Delta=v^2+8v^2=9v^2.\) Như vậy ta được \(u=v\) hoặc \(u=-\dfrac{v}{2}.\)

Trường hợp thứ nhất ta được \[\begin{array}{ll}&2t^2=1-2t\\ \Leftrightarrow&2t^2+2t-1=0\\ \Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}t=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}\\t=\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2}\quad\text{(loại)}\end{array}\right.\end{array}\]

Ta được \(x=\left(\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}\right)^2=\dfrac{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}{4}=\dfrac{4-2\sqrt{3}}{4}=1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\)

Trường hợp thứ hai ta được \[\begin{array}{ll}&2t^2=-\dfrac{1-2t}{2}\\ \Leftrightarrow&4t^2-2t+1=0\quad\text{(vô nghiệm)}\end{array}\]

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x=1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\)