Phép vị tự

1. Định nghĩa

Trong mặt phẳng cho điểm \(O\) và số thực \(k \ne 0.\) Phép biến hình biến điểm \(M\) tuỳ ý thành điểm \(M'\) thoả mãn \(\overrightarrow{OM'}=k\overrightarrow{OM}\) gọi là phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(k,\) kí hiệu là \(V_{(O;k)}.\)

Đặc biệt:

• Phép vị tự tỉ số \(k=1\) là phép đồng nhất.
• Phép vị tự tỉ số \(k=-1\) là phép đối xứng tâm

2. Tính chất

a) Tính chất 1

Cho phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(k\) biến hai điểm \(M, N\) thành hai điểm \(M', N'.\) Khi đó \(\overrightarrow{M'N'}=k\overrightarrow{MN}.\)

b) Tính chất 2

Phép vị tự biến đoạn thẳng \(MN\) thành đoạn thẳng \(M'N'\) có độ dài \(|k|MN,\) biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến đường tròn có bán kính \(R\) thành đường tròn có bán kính \(R'=|k|.R.\)

3. Biểu thức toạ độ của phép vị tự

Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy,\) cho phép vị tự tâm \(O(0;0)\) tỉ số \(k\) biến điểm \(M(x;y)\) thành điểm \(M'(x';y').\) Khi đó \[\begin{cases} x'=kx \\ y'=ky\end{cases}\]

4. Các ví dụ

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy,\) viết phương trình đường thẳng \(d'\) là ảnh của \(d: 3x-2y+7=0\) qua phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(k=-3.\)

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy,\) viết phương trình đường tròn \((C')\) là ảnh của \((C): x^2+y^2-5x+2y-5=0\) qua phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(k=2.\)