Phép cộng phân thức đại số, lý thuyết và cách giải chuẩn

Phép cộng các phân thức đại số có cùng mẫu thức, khác mẫu thức. Các dạng bài tập cơ bản và phương pháp giải hiệu quả.

Phép cộng phân thức đại số là một nội dung cơ bản trong chương trình Toán học lớp 8. Chỉ cần nắm vững kiến thức, xác định cộng 2 phân thức cùng mẫu thức hay khác mẫu thức sau đó thực hiện phép tính.

Bài viết sau đây sẽ giúp các em ôn tập lại phần lý thuyết, các tính chất, các dạng bài toán thường gặp và cách giải. Hãy cùng thayphu tham khảo ngay nhé!

Lý thuyết về phép cộng phân thức đại số

Cộng hai phân thức cùng mẫu thức

Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

A/B + C/B = (A+C)/B (B khác 0)

Ví dụ minh họa:

5x / (x-1) + (x+1) / (x-1) = (5x+x+1) / (x-1) = (6x+1) / (x-1)

Cách cộng 2 phân thức cùng mẫu thức

Cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau

Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau ta quy đồng mẫu thức các phân thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu vừa tìm được.

Ví dụ minh họa:

3/x + 5/(x-1) = 3(x-1) / x(x-1) + 5x / x(x-1)

= (3x-3+5x) / x(x-1) = (8x-3) / x(x-1)

Cách cộng 2 phân thức khác mẫu thức

Các tính chất của phép cộng phân thức đại số

Phép cộng phân thức cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp tương tự như đối với phân số.

• Tính chất giao hoán: A/B + C/D = C/D + A/B
• Tính chất kết hợp: (A/B + C/D) + E/F = A/B + (C/D + E/F)

Các dạng toán thường gặp về phép cộng phân thức đại số

Dạng 1 - Thực hiện phép tính

Phương pháp giải: Sử dụng các quy tắc cộng các phân thức và tính chất ở trên. Cụ thể các bước đó là:

• B1: Quy đồng mẫu thức
• B2: Thực hiện phép cộng các phân thức cùng mẫu bằng cách cộng tử với tử, mẫu chung giữ nguyên.
• B3: Phân tích tử số thành nhân tử để rút gọn phân thức (nếu có thể).

Bài tập 1

Thực hiện phép cộng (x+1) / (2x-2) + 2x / (1-x^2)

Giải:

Ta có (x+1) / (2x-2) + 2x / (1-x^2) => Mẫu thức chung là -2(x-1)(x+1)

Khi đó ta được:

(x+1) / (2x-2) + 2x / (1-x^2) = -(x+1)^2 / -2(x-1)(x+1) + 2.2x / -2(x-1)(x+1)

= (-x^2 - 2x - 1 + 4x) / 2(1-x^2) = -(x-1)^2 / -2(x-1)(x+1) = (x-1) / 2(x+1)

Bài tập 2

Thực hiện phép cộng (5xy - 4y) / 2x^2y^3 + (3xy + 4y) / 2x^2y^3

Giải:

Ta có: (5xy - 4y) / 2x^2y^3 + (3xy + 4y) / 2x^2y^3

= (5xy - 4y + 3xy + 4y) / 2x^2y^3 = 8xy / 2x^2y^3 = 4 / xy^2

Dạng 2 - Tính giá trị biểu thức tại giá trị cho trước của biến

Phương pháp giải:

• B1: Rút gọn biểu thức bằng cách thực hiện các phép tính cộng các phân thức.
• B2: Thay giá trị cho trước của biến vào biểu thức và thực hiện phép tính

Bài tập 1

Rút gọn biểu thức (x+1) / (x-5) + (x-18) / (x-5) + (x+2) / (x-5)

Giải:

Ta có: (x+1) / (x-5) + (x-18) / (x-5) + (x+2) / (x-5)

= (x + 1 + x - 18 + x + 2) / (x-5) = (3x - 15) / (x - 5) = 3(x-5) / (x-5) = 3

Bài tập 2

Rút gọn biểu thức (4 - x^2) / (x - 3) + (2x - 2x^2) / (3 - x) + (5 - 4x) / (x - 3)

Giải:

Ta có: (4 - x^2) / (x - 3) + (2x - 2x^2) / (3 - x) + (5 - 4x) / (x - 3)

= (4 - x^2) / (x - 3) - (2x - 2x^2) / (x - 3) + (5 - 4x) / (x - 3)

= (4 - x^2 - 2x + 2x^2 + 5 - 4x) / (x - 3)

= (x^2 - 6x + 9) / (x - 3) = (x - 3)^2 / (x - 3) = x - 3

Bài tập 3

Rút gọn biểu thức: y / (2x^2 - xy) + 4x / (y^2 - 2xy)

Cách giải:

Ta có: 2x^2 - xy = x(2x - y)

y^2 - 2xy = -y(2x - y)

=> Mẫu thức chung là -xy (2x - y)

Khi đó ta có: y / (2x^2 - xy) + 4x / (y^2 - 2xy)

= -y.y / (-xy)(2x - y) + 4x.x / (-xy)(2x - y)

= (4x^2 - y^2) / (-xy) (2x - y) = (2x + y)(2x - y) / -xy (2x - y) = (-2x - y) / xy

Bài tập nâng cao về phép cộng các phân thức đại số

Bài tập 1

Thực hiện phép tính:

A = (x+1) / (x-3) + (2x^2 + 2x) / (x^2 - 9) + (x-1) / (x+3)

Cách giải:

Ta có: x^2 - 9 = (x-3) (x+3)

=> Mẫu thức chung là (x-3) (x+3)

A = (x+1) / (x-3) + (-2x^2 + 2x) / (x^2 - 9) + (x-1) / (x+3)

= (x+1) / (x-3) + (2x^2 + 2x) / (x-3) (x+3) + (x-1) / (x+3)

= (x+1) (x+3) / (x-3) (x+3) + (-2x^2 + 2x) / (x-3) (x+3) + (x-1) (x-3) / (x-3) (x+3)

= (x^2 + 4x + 3 + (-2)x^2 + 2x + x^2 - 4x + 3) / (x-3) (x+3)

= (2x + 6) / (x-3) (x+3) = 2(x+3) / (x-3) (x+3) = 2 / (x-3)

Bài tập 2

Tìm a, b sao cho: 1 / x(1-x) = a/x + b / (1-x)

Cách giải:

Xét a/x + b / (1-x) = a(1-x) / x(1-x) + bx / x(1-x)

= (a - ax + bx) / x(1-x) = a + (b-a)x / x(1-x)

Sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số ta có:

a = 1 ⇔ a =1

b - a = 0 ⇔ b = 1

Bài viết trên đây vừa cung cấp các kiến thức cần nhớ và các dạng bài tập liên quan đến nội dung của bài học phép cộng các phân thức đại số - Toán cơ bản lớp 8. Hy vọng có thể hỗ trợ giúp các em ôn tập và hoàn thành tốt nội dung này. Chúc các em học tốt và luôn đạt điểm cao trong các kỳ thi sắp tới. Nhớ theo dõi kênh thường xuyên để cập nhật những bài học thật bổ ích nhất nhé!