Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Định lý. Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) không cùng phương và vectơ \(\overrightarrow{x}\) tuỳ ý. Khi đó tồn tại duy nhất 2 số thực \(h, k\) sao cho \[\overrightarrow{x}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}.\]

Bài 1. Cho tam giác \(ABC\), điểm \(M\) trên cạnh \(BC\), giữa hai điểm \(B\) và \(C\) sao cho \(MB=2MC\). Tính vectơ \(\overrightarrow{AM}\) theo hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\).

Bài 2. Cho tam giác \(ABC\), gọi \(I, J\) lần lượt là các điểm thoả \(2\overrightarrow{CI}=-3\overrightarrow{IB}\), \(5\overrightarrow{JB}=-2\overrightarrow{JC}\). Tính các vectơ \(\overrightarrow{AI}\) và \(\overrightarrow{AJ}\) theo \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\).

Bài 3. Cho tam giác \(ABC\), điểm \(M\) trên đường thẳng \(BC\), ngoài đoạn \(BC\) sao cho \(MB=\dfrac{5}{13}MC\). Tính vectơ \(\overrightarrow{AM}\) theo hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\). Cho \(AK, BM\) là hai trung tuyến của tam giác \(ABC\). Hãy phân tích \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA}\) theo \(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\), với \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AK},\overrightarrow{v}=\overrightarrow{BM}.\)

Bài 4. Cho hình bình hành \(ABCD\) tâm \(O\). Đặt \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}\).

1. Gọi \(I\) là trung điểm của \(BO\). Tính \(\overrightarrow{AI}\) theo \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\).
2. Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(OCD\). Tính \(\overrightarrow{BG}\) theo \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\).