Ôn tập học kì 2 toán 10

Đề 1

Bài 1. Giải các phương trình và bất phương trình sau

1. \(\sqrt{2x+1}=3x-9\)
2. \(\dfrac{2x-3}{1+x}-2>\dfrac{3}{x^2+3x+2}\)

Bài 2

1. Cho \(\dfrac{\pi}{2}<a<\pi\) và \(\cos a=-\dfrac{2}{\sqrt{5}}\). Tính \(A=\dfrac{\sin a+\cos a}{\sin a-\cos a}\).
2. Rút gọn \(B=\dfrac{1+\sin 2x+\cos 2x}{1+\sin 2x-\cos 2x}\).

Bài 3. Tìm \(m\) để bất phương trình \(mx^2+mx-5<0\) sau có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\).

Bài 4. Cho \(x_1,x_2\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình \(x^2+2(m+1)x-1=0\). Tìm \(m\) để biểu thức \(P=x_1^2+x_2^2\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 5. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ \(Oxy\), cho điểm \(A(1;3)\) và đường thẳng \(\Delta: 7x+y+1=0\).

1. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua \(A\) và vuông góc với \(\Delta\).
2. Lập phương trình đường tròn nhận \(A\) làm tâm và tiếp xúc với \(\Delta\).
3. Tính diện tích hình vuông nhận \(A\) làm một đỉnh và có một đường chéo nằm trên \(\Delta\).

Đề 2

Bài 1. Giải các phương trình và bất phương trình sau

1. \(|x+2|=x^2-3x+2\)
2. \(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{x+2}>\dfrac{3}{x+3}\)

Bài 2

1. Cho \(\dfrac{3\pi}{2}<a<2\pi\) và \(\cos a=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\). Tính \(A=\dfrac{\sin 2a}{1-\cos 2a}\).
2. Rút gọn \(B=\left(1+\tan x+\dfrac{1}{\cos x}\right)\left(1+\tan x-\dfrac{1}{\cos x}\right)\).

Bài 3. Tìm \(m\) để phương trình \((m^2+1)x^2+mx-2m+1<0\) có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

Bài 4. Cho \((P)\) là đồ thị hàm số \(y=x^2-4x+4\) và điểm \(I(2;1)\) gọi \(d\) là đường thẳng qua \(I\) và có hệ số góc \(k\). Tìm \(k\) để \(d\) cắt đồ thị \((P)\) bởi một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất.

Bài 5. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ \(Oxy\), cho điểm \(A\left(2\sqrt{3};0\right)\) và đường thẳng \(\Delta: \sqrt{3}.x-y=0\).

1. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua \(A\) và song song với \(\Delta\).
2. Lập phương trình đường tròn nhận \(A\) làm tâm và tiếp xúc với \(\Delta\).
3. Cho \(B\) và \(C\) là 2 điểm trên \(\Delta\) thoả tam giác \(ABC\) là tam giác đều. Tìm toạ độ của \(B\) và \(C.\)

Đề 3

Bài 1. Giải các phương trình và bất phương trình sau

1. \(\sqrt{11+x}=-1-2x\)
2. \(\dfrac{3}{4-x}\le 1\)

Bài 2

1. Cho \(\pi<a<\dfrac{3\pi}{2}\) và \(\sin a=-\dfrac{2}{\sqrt{13}}\). Tính \(A=\dfrac{\sin a}{2\cos a-\sin a}\).
2. Cho tam giác \(ABC,\) chứng minh rằng \(\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C\), trong đó \(A, B, C\) là số đo các góc của tam giác \(ABC.\)

Bài 3. Chứng minh rằng phương trình \(mx^2+2(m-1)x+m-2=0\) có nghiệm với mọi \(m\in\mathbb{R}.\)

Bài 4. Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức \(C=\tan9^\circ-\tan27^\circ-\tan63^\circ+\tan81^\circ.\)

Bài 5. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ \(Oxy\), cho 3 điểm \(A(-1;2), B(2;3), C(0;-1).\)

1. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) qua \(A\) và song song với đường thẳng \(BC.\)
2. Lập phương trình đường tròn đi qua 3 điểm \(A, B, C\).
3. Lập phương trình đường thẳng song song với \(BC\) cắt đường tròn ở câu trên theo một dây cung có độ dài bằng bán kính.

Đề 4

Bài 1. Giải các phương trình và bất phương trình sau

1. \(\big|x+2\big|=x^2-x+3\)
2. \(\dfrac{x^2+1}{x^2-2x-3}\le \dfrac{1}{x-3}\)

Bài 2

1. Cho \(\pi<a<\dfrac{3\pi}{2}\) và \(\cos a=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\). Tính \(A=\sin a+\cos a+\sin a\cos a\).
2. Rút gọn \(B=\dfrac{1-2\cos^2x}{\sin x-\cos x}\)

Bài 3. Chứng minh rằng bất phương trình \(x^2+(m+1)x+m^2+2>0\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\) với mọi \(m\in\mathbb{R}.\)

Bài 4. Chứng minh rằng \(\cos A+\cos B+\cos C=1+4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\), trong đó \(A, B, C\) là số đo 3 góc của tam giác \(ABC.\)

Bài 5. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ \(Oxy\), cho hình vuông \(ABCD\) có \(A(3;-1)\) và \(C(-1;1).\)

1. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) qua 2 điểm \(B, D.\)
2. Viết phương trình tiếp tuyến tại \(C\) của đường tròn ngoại tiếp hình vuông \(ABCD.\)
3. Tìm toạ độ 2 điểm \(B\) và \(D\) biết hoành độ của \(B\) bé hơn hoành độ của \(D.\)

Đề 5

Bài 1. Giải các phương trình và bất phương trình sau

1. \(\sqrt{3-2x}=\sqrt{x-1}\)
2. \(\dfrac{2}{x^2-x+1}-\dfrac{1}{x+1}\ge\dfrac{2x-1}{x^3+1}\)

Bài 2

1. Cho \(\pi<a<\dfrac{3\pi}{2}\) và \(\sin a=-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\). Tính \(A=\dfrac{2\sin a+\cos a}{2\cos a+\sin a}\).
2. Rút gọn \(B=\dfrac{1-\cos x+\cos2x-\cos3x}{1+\cos x+\cos2x+\cos3x}\)

Bài 3. Tìm \(m\) để  bất phương trình \((m-3)x^2+2mx+m-9<0\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}.\)

Bài 4. Không dùng máy tính cầm tay, tính \(C=\cos\dfrac{2\pi}{7}+\cos\dfrac{4\pi}{7}+\cos\dfrac{6\pi}{7}.\)

Bài 5. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ \(Oxy\) cho điểm \(I(1;-2)\) và đường thẳng \(\Delta:x-2y-10=0.\)

1. Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên \(\Delta\), tìm toạ độ của \(H.\)
2. Gọi \((C_1)\) là đường tròn tâm \(I\) và tiếp xúc với \(\Delta.\) Viết phương trình của \((C_1).\)
3. Gọi \((C_2)\) là đường tròn có tâm \(J(7;-4)\) và cắt \((C_1)\) tại 2 điểm \(M, N\) thoả \(MN=\sqrt{10}\). Viết phương trình \((C_2).\)