Ôn tập hình học 11

LÝ THUYẾT

1. Để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.
2. Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc ta chứng minh trong mặt phẳng này có một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
3. Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc ta có thể chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia.
4. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.
5. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng:

• Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng đã cho.
• Tìm trong mỗi mặt phẳng đã cho một đường thẳng vuông góc với giao tuyến (cùng cắt giao tuyến tại một điểm).
• Xác định góc giữa hai đường cùng vuông góc với giao tuyến vừa tìm ở trên.

BÀI TẬP

Bài 1. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(SA \bot (ABCD)\), \(AB=a\), \(AD=a\sqrt{3}\), \(SA=a\).

1. Chứng minh \(BC \bot (SAB)\).
2. Chứng minh \((SCD) \bot (SAD)\).
3. Vẽ \(AH \bot SB\) với \(H \in SB\). Chứng minh \(AH \bot SC\).
4. Tính góc giữa \(SC\) và \((ABCD)\).

Bài 2. Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), \(SA \bot (ABC)\), \(SA=AB=a\), \(\widehat{BCA}=60^\circ\).

1. Chứng minh \(BC \bot (SAB)\).
2. Vẽ \(AH \bot SB\) với \(H \in SB\). Chứng minh \(AH \bot SC\).
3. Vẽ \(AK \bot SC\) với \(K \in SC\). Chứng minh \(SC \bot (AHK)\).
4. Tính góc giữa \(SC\) và \((SAB)\).

Bài 3. Cho hình chóp \(S.ABC\) có tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) và \(SA \bot (ABC)\).

1. Chứng minh \(AB \bot (SAC)\).
2. Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\), chứng minh \(BC \bot (SAM)\).
3. Vẽ \(AH \bot SM\) tại \(H\). Chứng minh \(AH \bot SC\).
4. Cho \(AB=a\sqrt{2}\), \(SA=a\sqrt{2}\), tính góc giữa \(SC\) và \((SAM)\).

Bài 4. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SA \bot (ABCD)\) và \(SA=a\sqrt{2}\).

1. Chứng minh \(AB \bot (SAD)\).
2. Chứng minh \((SBD) \bot (SAC)\).
3. Vẽ \(BE\) vuông góc với \(SD\) tại \(E\). Chứng minh \(SD \bot AE\).
4. Tính góc giữa \(SC\) và \((SAD)\).

Bài 5. Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), \(SA \bot (ABC)\) và \(SA=\dfrac{3a}{2}\), \(BC=2a\), \(\widehat{ABC}=60^\circ\).

1. Gọi \(H\) là chân đường cao kẻ từ \(A\) của tam giác \(ABC\). Chứng min \(BC \bot (SAH)\).
2. Vẽ \(AK\) vuông góc với \(SH\) tại \(K\). Chứng minh \(AK \bot SB\).
3. Tính góc giữa \(SC\) và \((ABC)\).
4. Tính góc giữa \((SBC)\) và \((ABC)\).

Bài 6. Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\), \(SB \bot (ABC)\) và \(SB=2a\sqrt{3}\), \(AC=4a\).

1. Gọi \(M\) là trung điểm \(AC\). Chứng minh \(AC \bot (SBM)\).
2. Vẽ \(BI\) vuông góc với \(SM\) tại \(I\). Chứng minh \(BI \bot SC\).
3. Tính góc giữa \(SC\) và \((ABC)\).
4. Tính góc giữa \((SAC)\) và \((ABC)\).

Bài 7. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(4a\), \(SA\bot (ABCD)\), \(SC=8a\).

1. Chứng minh \(CD\bot (SAD)\).
2. Chứng minh \((SBD)\bot (SAC)\).
3. Vẽ \(AK\) vuông góc với \(SD\) tại \(K\). Chứng minh \(SC\bot AK\).
4. Tính góc giữa \((SBC)\) và \((ABCD)\).

Bài 8. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\), \(SB\bot (ABCD)\), \(SB=2a\sqrt{3}\).

1. Chứng minh \(AD\bot (SAB)\).
2. Chứng minh \((SBD)\bot (SAC)\).
3. Vẽ \(BH\) vuông góc với \(SA\) tại \(H\). Chứng minh \(SD\bot BH\).
4. Tính góc giữa \(SD\) và \((SAB)\).

Bài 9. Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(6a\), tâm \(O\), \(SO \bot (ABC)\) và \(SO=3a\).

1. Tính góc giữa \((SAB)\) và \((ABC)\).
2. Gọi \(E\) là trung điểm \(SA\), tính góc giữa \(BE\) và \(SC\).

Bài 10. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), tam giác \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

1. Tính góc giữa hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC)\).
2. Gọi \(M\) là trung điểm \(SC\). Tính góc giữa \(SA\) và \(MD\).

Bài 11. Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) tâm \(O\) và \(SO \bot (ABC)\), \(SO=\dfrac{a}{2}\).

1. Tính góc giữa \((SBC)\) và \((ABC)\).
2. Gọi \(M\) là trung điểm \(SO\), tính góc giữa \(BM\) và \(SC\).