Một số bài tập về công thức lượng giác

Bài 1. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc \(x\)

1. \(A=\cos(\frac{\pi}{4}-x)-\sin(\frac{\pi}{4}+x)\)
2. \(B=\cos(\frac{\pi}{3}-x)-\sin(\frac{\pi}{6}+x)\)
3. \(C=\sin^2x+\cos(\frac{\pi}{3}-x)\cos(\frac{\pi}{3}+x)\)
4. \(D=\cos x+\cos(\frac{2\pi}{3}+x)+\cos(\frac{4\pi}{3}+x)\)
5. \(E=\sin x+\sin(\frac{2\pi}{3}+x)+\sin(\frac{4\pi}{3}+x)\)
6. \(F=\cos^2x+\cos^2(\frac{2\pi}{3}+x)+\cos^2(\frac{4\pi}{3}+x)\)
7. \(G=\sin^2x+\sin^2(\frac{2\pi}{3}+x)+\sin^2(\frac{4\pi}{3}+x)\)
8. \(H=\sin^2x+\sin^2(\frac{\pi}{3}-x)-\sin\alpha\sin(x-\frac{\pi}{3})\)

Bài 2. Chứng minh \(\cos(x-\frac{\pi}{3})\cos(x+\frac{\pi}{4})+\cos(x+\frac{\pi}{6})\cos(x+\frac{3\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\left(1-\sqrt{3}\right).\)

Bài 3. Chứng minh \(\sin(x+y)\sin(x-y)=\sin^2x-\sin^2y.\)

Bài 4. Rút gọn

1. \(M=\sin(a-\pi)\cos(a+\frac{\pi}{2})-\cos(a-3\pi)\sin(\frac{5\pi}{2}-a).\)
2. \(N=\cos(3\pi-a)\sin(a-\frac{\pi}{2})+\cos(\frac{5\pi}{2}-a)\sin(4\pi-a).\)

Bài 5. Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào \(x\).

\[D=\dfrac{\left(1-\tan^2x\right)^2}{4\tan^2x}-\dfrac{1}{4\sin^2x\cos^2x}\]

Bài 6. Không dùng máy tính, tính \[A=\dfrac{\tan^2(-\frac{3\pi}{8})-1}{3\tan\frac{5\pi}{8}}\]

Bài 7. Chứng minh

1. \(\sin 3x=4\sin(\frac{\pi}{3}-x)\sin x\sin(\frac{\pi}{3}+x)\)
2. \(\cos 75^\circ-\cot 15^\circ=-2\sqrt{3}\)
3. \(\cos\frac{2\pi}{5}\cos\frac{\pi}{5}=\frac{1}{4}\).

Bài 8. Chứng minh \(\sin 54^\circ-\cos 72^\circ=\dfrac{1}{2}\).

Bài 9. Cho biết \(\dfrac{2\sin x+3\cos x}{3\sin x-2\cos x}=\dfrac{1}{8}\), tính \(\tan x\).

Bài 10. Rút gọn \(\dfrac{1+\sin 4a-\cos 4a}{1+\cos 4a+\sin 4a}\)

Bài 11. Tính \(\tan9^\circ-\tan27^\circ-\tan63^\circ+\tan81^\circ.\)

Bài 12. Tính \(\sin\dfrac{\pi}{16}.\sin\dfrac{3\pi}{16}.\sin\dfrac{5\pi}{16}.\sin\dfrac{7\pi}{16}.\)

Bài 13. Tính \(\cos\dfrac{2\pi}{7}+\cos\dfrac{4\pi}{7}+\cos\dfrac{6\pi}{7}.\)

Bài 14. Tính \(\cos\dfrac{\pi}{15}\cos\dfrac{2\pi}{15}\cos\dfrac{3\pi}{15}\cos\dfrac{4\pi}{15}\cos\dfrac{5\pi}{15}\cos\dfrac{6\pi}{15}\cos\dfrac{7\pi}{15}.\)