Một số bài tập cơ bản phương trình đường tròn

Bài 1. Viết phương trình đường tròn có tâm \(I(3;-1)\), bán kính \(R=2\).

Giải. Phương trình đường tròn tâm \(I(3;-1)\), bán kính \(R=2\) là \((x-3)^2+(y+1)^2=4\).

Bài 2. Viết phương trình đường tròn có tâm \(I(0;3)\) và đi qua \(A(3;-2)\).

Giải. Ta có \(\overrightarrow{IA}=(3;-5)\). Bán kính đường tròn là \(R=IA=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}\). Vậy phương trình đường tròn là \(x^2+(y-3)^2=34\).

Bài 3. Viết phương trình đường tròn nhận \(AB\) làm đường kính biết \(A(1;6)\) và \(B(4;5)\).

Giải. Gọi \(I\) là tâm của đường tròn, ta có \(I\) là trung điểm \(AB\) nên \(I\left(\frac{5}{2};\frac{11}{2}\right)\). Ta có \(\overrightarrow{AB}=(3;-1)\) suy ra \(AB=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\). Bán kính đường tròn là \(R=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}\). Vậy phương trình đường tròn cần tìm là:

\[\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\left(y-\frac{11}{2}\right)^2=\frac{5}{2}\]

Bài 4. Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm \(A(4;1)\), \(B(3;4)\), \(C(1;0)\).

Giải. Phương trình đường tròn có dạng \(x^2+y^2-2ax-2by+c=0\). Vì đường tròn này đi qua các điểm \(A, B, C\) nên ta có hệ phương trình \[\begin{cases}17-8a-2b+c=0\\ 25-6a-8b+c=0\\ 1-2a+c=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a=2\\ b=2\\ c=3\end{cases}\]

Vậy phương trình đường tròn là \(x^2+y^2-4x-4y+3=0.\)

Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến \(\Delta\) của đường tròn \(x^2+y^2-4y-4=0\) biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng \(d: x+7y+6=0\).

Giải. Đường tròn đã cho có tâm \(I(0;2)\), bán kính \(R=\sqrt{0+4+4}=2\sqrt{2}\). Vì tiếp tuyến \(\Delta\) song song với \(d\) nên phương trình \(\Delta\) có dạng \(x+7y+m=0\) (với \(m\ne 6\)). Vì \(\Delta\) tiếp xúc với đường tròn nên

\[\begin{array}{ll}&d(I,\Delta )=R\\ \Leftrightarrow &\dfrac{|14+m|}{\sqrt{1+49}}=2\sqrt{2}\\ \Leftrightarrow &|14+m|=20\\ \Leftrightarrow &\left[\begin{array}{l}m+14=20\\m+14=-20\end{array}\right.\\ \Leftrightarrow &\left[\begin{array}{l}m=6\quad \text{(loại)}\\m=-34\end{array}\right.\end{array}\]

Vậy có 1 tiếp tuyến có phương trình \(x+7y-34=0.\)

Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến \(\Delta\) của đường tròn \((x-3)^2+(y+2)^2=13\) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng \(d: 3x-2y+1=0\).

Giải. Đường tròn đã cho có tâm \(I(3;-2)\), bán kính \(R=\sqrt{13}\). Vì tiếp tuyến \(\Delta\) vuông góc với \(d\) nên phương trình \(\Delta\) có dạng \(2x+3y+m=0\). Vì \(\Delta\) tiếp xúc với đường tròn nên

\[\begin{array}{ll}&d(I,\Delta )=R\\ \Leftrightarrow &\dfrac{|6-6+m|}{\sqrt{4+9}}=\sqrt{13}\\ \Leftrightarrow &|m|=13\\ \Leftrightarrow & m=\pm 13\end{array}\]

Vậy có 2 tiếp tuyến có phương trình \(2x+3y\pm 13=0.\)