Liên hệ giữa hệ số góc và vectơ chỉ phương của đường thẳng

Thuận

Cho đường thẳng \(d\) có hệ số góc \(k.\) Khi đó phương trình của \(d\) có dạng \(y=kx+m.\) Hay \(kx-y+m=0.\) Khi đó một vectơ pháp tuyến của \(d\) là \(\overrightarrow{n}=(k;-1).\) Suy ra \(\overrightarrow{u}=(1;k)\) là một vectơ chỉ phương của \(d.\)

Vậy đường thẳng có hệ số góc \(k\) thì có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=(1;k).\)

Ngược lại

Cho đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=(a;b).\) Khi đó, một vectơ pháp tuyến của \(d\) là \(\overrightarrow{n}=(b;-a).\) Phương trình tổng quát của \(d\) sẽ có dạng \(bx-ay+m=0.\) Nếu \(a\ne0\) thì ta biến đổi phương trình tổng quát trên thành \(y=\dfrac{b}{a}x+\dfrac{m}{a}.\) Khi đó hệ số góc của \(d\) là \(k=\dfrac{b}{a}.\)

Vậy đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(a;b)\) (trong đó \(a\ne0\)) thì có hệ số góc là \(k=\dfrac{b}{a}.\)

Ví dụ: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) biết \(d\) đi qua \(M(x_0;y_0)\) và có hệ số góc \(k.\)

Giải. Vì đường thẳng \(d\) có hệ số góc \(k\) nên \(d\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(1;k).\) Suy ra một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(k;-1).\) Phương trình tổng quát của \(d\) là \(k(x-x_0)-(y-y_0)=0 \Leftrightarrow y-y_0=k(x-x_0).\)

Ghi nhớ

Phương trình đường đường thẳng đi qua \(M(x_0;y_0)\) và có hệ số góc \(k\) là: \[y-y_0=k(x-x_0)\]

Chúng ta cần nhớ kết quả này để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.