Hàm số liên tục

1. Hàm số liên tục tại một điểm

a. Định nghĩa

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \(K\) và \(x_0\in K.\) Hàm số gọi là liên tục tại \(x_0\) nếu \[\mathop {\lim }\limits_{x \rightarrow x_0}f(x)=f(x_0) \quad (1)\]

Điều kiện (1) có thể được viết lại thành \[\mathop {\lim }\limits_{x \rightarrow x_0^+}f(x)=\mathop {\lim }\limits_{x \rightarrow x_0^-}f(x)=f(x_0) \quad (2)\]

Hàm số không liên tục tại \(x_0\) gọi là gián đoạn tại điểm đó.

b. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Để xét tính liên tục của hàm số tại điểm \(x_0\) ta kiểm tra điều kiện (1) hoặc (2).

Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{cll} \dfrac{x^2-1}{x-1} & \text{nếu} & x \ne 1\\ -1 & \text{nếu} & x=1 \end{array}\right.\) tại \(x=1\).

Giải. Ta có

• \(f(1)=-1\)
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \rightarrow 1}f(x)=\mathop {\lim }\limits_{x \rightarrow 1}\dfrac{x^2-1}{x-1}=\mathop {\lim }\limits_{x \rightarrow 1^+}(x+1)=2\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \rightarrow 1}f(x) \ne f(1)\) nên hàm số không liên tục tại \(x=1.\)