Hàm số liên tục trên một khoảng

Định nghĩa. 

• Hàm số \(y=f(x)\) gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm trên khoảng đó.
• Hàm số \(y=f(x)\) gọi là liên tục trên đoạn \([a;b]\) nếu nó liên tục trên khoảng \((a;b)\) và \[\mathop{\lim}\limits_{x\to a^+} f(x)=f(a) \text{ và} \mathop{\lim}\limits_{x\to b^-} f(x)=f(b)\]

Nhận xét. Đồ thi hàm số liên tục trên một khoảng là một "đường liền" trên khoảng đó.

Một số định lý cơ bản

Định lý 1.

• Hàm số đa thức liên tục trên \(\mathbb{R}.\)
• Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức); các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.

Định lý 2.

Giả sử \(y=f(x)\) và \(y=g(x)\) là hai hàm số liên tục tại điểm \(x_0,\) Khi đó

• Các hàm số \(y=f(x)+g(x),\) \(y=f(x)-g(x)\) và \(y=f(x).g(x)\) liên tục tại \(x_0.\)
• Hàm số \(y=\dfrac{f(x)}{g(x)}\) liên tục tại \(x_0\) nếu \(g(x_0) \ne 0.\)

Ví dụ:

• Hàm số \(y=x^5-4x^2+1\) liên tục trên \(\mathbb{R}.\)
• Hàm số \(y=\sin x - \cos 2x\) liên tục trên \(\mathbb{R}.\)
• Hàm số \(y=\dfrac{2x}{x-1}\) liên tục trên các khoảng \((-\infty;1)\) và \((1;+\infty).\)

Bài 1. Tìm \(m\) để hàm số sau liên tục trên \(\mathbb{R}\) \[f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 3x+1 & \text{nếu} & x \ge 3 \\ mx+3 & \text{nếu} & x<3. \end{array} \right.\]