Góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng

Cho hai đường thẳng trong mặt phẳng, khi đó xảy ra 3 trường hợp sau:

• Hai đường thẳng đó song song: quy ước góc giữa chúng bằng \(0^\circ.\)
• Hai đường thẳng đó trùng nhau: quy ước góc giữa chúng bằng \(0^\circ.\)
• Hai đường thẳng cắt nhau: quy ước góc giữa chúng là góc nhỏ nhất trong 4 góc được tạo thành.

Nhận xét:

• Góc giữa hai đường thẳng là góc không tù bằng hoặc bù với góc giữa một vectơ pháp tuyến của đường thẳng này và một vectơ pháp tuyến của đường thẳng kia.
• Và vẫn đúng khi thay vectơ pháp tuyến bằng vectơ chỉ phương

Công thức:

Cho hai đường thẳng \(d_1: A_1x+B_1y+C_1=0\) và \(d_2: A_2x+B_2y+C_2=0\) lần lượt có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_1}=(A_1;B_1)\) và \(\overrightarrow{n_2}=(A_2;B_2)\). Gọi \(\alpha\) là góc giữa \(d_1\) và \(d_2\) thì ta có công thức
\[\cos\alpha=\dfrac{\big|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}\big|}{\big|\overrightarrow{n_1}\big|.\big|\overrightarrow{n_2}\big|}=\dfrac{\big|A_1A_2+B_1B_2\big|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}.\sqrt{A_2^2+B_2^2}}\]

Cho hai đường thẳng \(d_1: \begin{cases} x=x_1+a_1t \\ y=y_1+b_1t \end{cases}\) và \(d_2: \begin{cases} x=x_2+a_2t \\ y= y_2+b_2t \end{cases}\) lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u_1}=(a_1;b_1)\), \(\overrightarrow{u_2}=(a_2;b_2).\) Gọi \(\varphi\) là góc giữa hai đường thẳng trên, ta có \[\cos \varphi = \dfrac{\left|\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}\right|}{\left|\overrightarrow{u_1}\right|.\left| \overrightarrow{u_2}\right|}=\dfrac{\big|a_1a_2+b_12_2\big|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}.\sqrt{a_2^2+b_2^2.}}\]

Chú ý. Cho tam giác \(ABC\), khi đó góc \(\widehat{BAC}\) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) chứ không phải là góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(AC\) và góc \(\widehat{A}\) có thể tù.

Bài 1. Tính góc giữa hai đường thẳng sau

1. \(d_1: x-3y+1=0\) và \(d_2: x+2y-5=0.\)
2. \(d_1: 3x-y+1=0\) và \(d_2: \begin{cases}x=1+2t\\ y=3+t\end{cases}\)
3. \(d_1: \begin{cases}x=t\\ y=-5+3t\end{cases}\) và \(d_2: \begin{cases}x=2t\\ y=-t\end{cases}\)