Giới hạn của dãy số

I. Giới hạn hữu hạn của dãy số

1. Các định nghĩa về giới hạn của dãy số

a) Định nghĩa dãy số có giới hạn bằng 0

Ta nói dãy \(u_n\) có giới hạn là 0 khi \(n\) dần tới dương vô cực nếu \(|u_n|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: \[\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=0\quad \text{hay}\quad u_n\rightarrow 0 \text{ khi }\ n\rightarrow +\infty\]

Ta quy ước chỉ cần viết \(\lim u_n\)

Định nghĩa khác \[\forall \epsilon > 0, \exists n_0 : \forall n \ge n_0 \Rightarrow \big|u_n\big|<\epsilon\]

b) Định nghĩa dãy số có giới hạn bằng a

\[\lim u_n =a \Leftrightarrow \lim (u_n -a)=0\]

2. Vài giới hạn đặc biệt

• \(\lim \dfrac{1}{n}=0\);
• \(\lim \dfrac{1}{n^k}=0\) với mọi \(k \in \mathbb{N^*}\)
• \(\lim c = c\), với mọi hằng số \(c\)
• \(\lim q^n =0\) với mọi \(-1 < q < 1\)

II. Định lý về giới hạn hữu hạn

Cho các dãy \((u_n), \;(v_n)\) có giới hạn hữu hạn \(\lim u_n=a,\) \(\lim v_n=b.\) Khi đó ta có:

• \(\lim (u_n \pm v_n)=\lim u_n \pm \lim v_n\)
• \(\lim (u_n. v_n)=\lim u_n .\lim v_n\)
• \(\lim \dfrac{u_n}{v_n}=\dfrac{\lim u_n}{\lim v_n}\) trong đó \(u_n \ne 0 \; \forall n \in \mathbb{N^*}\) 
• \(\lim \sqrt{u_n}=\sqrt{\lim u_n}\) trong đó \(u_n \ge 0 \; \forall n \in \mathbb{N^*}\) 

Ví dụ 1. Tính các giới hạn

1. \(\lim\left(\dfrac{2}{n^2}-\dfrac{3}{n}\right)\)
2. \(\lim\dfrac{2n+3}{n-2}\)
3. \(\lim\dfrac{3n-2}{2n+5}\)
4. \(\lim\dfrac{n^2-3n+1}{2n^2+3}\)
5. \(\lim\dfrac{3-n^2}{n^2+2n-1}\)
6. \(\lim\dfrac{n^3+8}{2-n+3n^3}\)
7. \(\lim\dfrac{-2n^3+3n-1}{n^3}\)
8. \(\lim\dfrac{3n^2-2n+5}{3n^3}\)
9. \(\lim\dfrac{(n-2)(n+1)}{2n(n-3)}\)
10. \(\lim\dfrac{(n^2+1)(2n-3)}{(n^2-1)(n+2)}\)
11. \(\lim\dfrac{(2n+1)^3}{(n-2)^2(3n-1)}\)