Dùng tích vô hướng chứng minh vuông góc

Ví dụ 1. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Trên hai cạnh \(AB\) và \(AC\) lần lượt lấy các điểm \(B'\) và \(C'\) sao cho \(AB.AB'=AC.AC'.\) Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\). Chứng minh \(AM \perp B'C'\).
Giải. Vì \(AM\) là trung tuyến của tam giác \(ABC\) nên ta có \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).\) Ta có
\(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{B'C'}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{AC'}-\overrightarrow{AB'}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AC'}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB'}\right)=\dfrac{1}{2}(AC.AC'-AB.AB')=0\). (Chú ý rằng, trong việc nhân phân phối trên, các vectơ vuông góc nhau có tích vô hướng bằng 0).
Vậy \(AM \perp B'C'.\)