Dùng tích vô hướng chứng minh vuông góc

Ví dụ 1. Cho tam giác ABCABC vuông tại AA. Trên hai cạnh ABABACAC lần lượt lấy các điểm BB'CC' sao cho AB.AB=AC.AC.AB.AB'=AC.AC'. Gọi MM là trung điểm BCBC. Chứng minh AMBCAM \perp B'C'.
Giải.AMAM là trung tuyến của tam giác ABCABC nên ta có AM=12(AB+AC).\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right). Ta có
AM.BC=12(AB+AC)(ACAB)=12(AC.ACAB.AB)=12(AC.ACAB.AB)=0\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{B'C'}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{AC'}-\overrightarrow{AB'}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AC'}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB'}\right)=\dfrac{1}{2}(AC.AC'-AB.AB')=0. (Chú ý rằng, trong việc nhân phân phối trên, các vectơ vuông góc nhau có tích vô hướng bằng 0).
Vậy AMBC.AM \perp B'C'.

Cùng chuyên mục:

MỚI CẬP NHẬT