Dùng tích vô hướng chứng minh vuông góc

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Trên hai cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt lấy các điểm $B'$ và $C'$ sao cho $AB.AB'=AC.AC'.$ Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Chứng minh $AM \perp B'C'$.
Giải. Vì $AM$ là trung tuyến của tam giác $ABC$ nên ta có $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).$ Ta có
$\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{B'C'}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{AC'}-\overrightarrow{AB'}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AC'}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB'}\right)=\dfrac{1}{2}(AC.AC'-AB.AB')=0$. (Chú ý rằng, trong việc nhân phân phối trên, các vectơ vuông góc nhau có tích vô hướng bằng 0).
Vậy $AM \perp B'C'.$