Dùng bất đẳng thức AM - GM tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Nhắc lại bất đẳng thức AM - GM (arithmetic mean - geometric mean) hay bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, còn gọi là bất đẳng thức Cô-si (Cauchy).

Với các số không âm \(a, b, c, d, ...\). Ta có

• \(\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\)
• \(\dfrac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc}\)
• \(\dfrac{a+b+c+d}{4} \ge \sqrt[4]{abcd}\)
• Tương tự cho \(n\) số không âm.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\ldots\).

Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=2x+\dfrac{2}{x-2}\), với \(x>2\).

Giải. \(y=2x-4+\dfrac{2}{x-2}+4=2(x-2)+\dfrac{2}{x-2}+4 \ge 2\sqrt{2(x-2)\cdot \dfrac{2}{x-2}}+4=8.\)
\(y=8\) khi và chỉ khi \(2(x-2)=\dfrac{2}{x-2} \Leftrightarrow (x-2)^2=1 \Leftrightarrow x-2=1 \Leftrightarrow x=3\). Vậy giá trị nhỏ nhất của \(y\) là \(8.\)

Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\sqrt{x-1}+\sqrt{4-x}.\)

Giải. Hàm số xác định khi \(1\le x \le 4.\) Ta có \(y \ge 0\) và
\(y^2=x-1+4-x+2\sqrt{(x-1)(4-x)}=3+2\sqrt{(x-1)(4-x)}\).
Áp dụng AM - GM cho 2 số không âm \(x-1\) và \(4-x\) ta có
\(\sqrt{(x-1)(4-x)} \le \dfrac{x-1+4-x}{2}=\dfrac{3}{2}.\)
Do đó \(y^2 \le 6\). Suy ra \(y \le \sqrt{6}\) và \(y=\sqrt{6}\) khi và chỉ khi \(x-1=4-x \Leftrightarrow x=\dfrac{5}{2}\).
Vậy \(\max y=\sqrt{6}.\)
Ta lại có \(y^2=3+2\sqrt{(x-1)(4-x)}\ge 3 \Rightarrow y^2 \ge 3 \Rightarrow y \ge \sqrt{3}.\) Ta có \(y=\sqrt{3}\) khi \(x=1\) hoặc \(x=4.\)
Vậy \(\min y=\sqrt{3}.\)