Định nghĩa tích vectơ với một số

Trước tiên ta quan sát hình vẽ sau: Cho tam giác \(ABC\), gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AB, AC.\)

Vectơ \(\overrightarrow{BC}\) cùng hướng và có độ dài gấp 2 lần độ dài vectơ \(\overrightarrow{MN}\). Ta viết \(\overrightarrow{BC}=2.\overrightarrow{MN}.\) Ta cũng có \(\overrightarrow{BC}=-2.\overrightarrow{NM}.\)

Định nghĩa. Cho vectơ \(\overrightarrow{a}\ne\overrightarrow{0}\) và số thực \(k\ne0.\) Tích của số \(k\) với vectơ \(\overrightarrow{a}\) kí hiệu \(k\overrightarrow{a}\) là một vectơ thoả:

• cùng hướng với \(\overrightarrow{a}\) nếu \(k>0,\) ngược hướng với \(\overrightarrow{a}\) nếu \(k<0,\)
• \(\big|\overrightarrow{ka}\big|=|k|.\big|\overrightarrow{a}\big|\)

Quy ước: \(0.\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0};\) \(k.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}.\)

Ví dụ 1. Cho tam giác \(ABC\) có trọng tâm \(G\), gọi \(M\) là trung điểm \(BC.\) Điền số thực thích hợp vào ô vuông để trống.

• \(\overrightarrow{AM}=\square\;\overrightarrow{AG}\)
• \(\overrightarrow{MG}=\square\;\overrightarrow{AG}\)

Đáp số:

• \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AG}\)
• \(\overrightarrow{GM}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AG}\)

Tính chất

• \(1.\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}\)
• \((-1).\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}\)
• \((hk).\overrightarrow{a}=h(k\overrightarrow{a})=k(h\overrightarrow{a})\)
• \((h+k)\overrightarrow{a}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{a}\)
• \(h\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=h\overrightarrow{a}+h\overrightarrow{b}\)