Định nghĩa phép cộng hai vectơ

Định nghĩa. Cho hai vectơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}.\) Lấy một điểm \(A\) tuỳ ý, xác định điểm \(B\) sao cho \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u},\) xác định điểm \(C\) sao cho \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{v}.\) Khi đó vectơ \(\overrightarrow{AC}\) gọi là vectơ tổng của hai vectơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}.\)

Nhận xét. Hướng và độ dài của vectơ tổng \(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\) không phụ thuộc vào cách chọn vị trí điểm \(A.\)

Quy tắc cộng (quy tắc 3 điểm). Từ định nghĩa ta rút ra quy tắc sau: Cho 3 điểm \(A, B, C\) tuỳ ý, ta có: \[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.\]

Từ quy tắc trên ta cũng có quy tắc chen điểm sau: Cho trước vectơ \(\overrightarrow{AB},\) ta có thể chen một điểm tuỳ ý vào giữa \(A\) và \(B\) như sau: \[\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}\] \[\text{hoặc}\quad \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{NB}\]

Mở rộng quy tắc 3 điểm cho n điểm:

\[\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{A_2A_3}+\cdots+\overrightarrow{A_{n-1}A_n}=\overrightarrow{A_1A_n}\]

Tính chất. Người ta chứng minh được các tính chất sau

• \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\) (tính chất giao hoán)
• \(\big(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\big)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\big(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\big)\) (tính chất kết hợp)
• \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}\)

Phối hợp hai tính chất giao hoán và kết hợp, trong một tổng gồm nhiều vectơ ta có thể ghép hai vectơ tuỳ ý lại gần nhau và thực hiện phép cộng trước.