Định nghĩa giới hạn của dãy số

Tư tưởng giới hạn được cho là đã xuất hiện từ thời cổ. Tuy có tồn tại ngầm ẩn trong một số phép toán nhưng chủ yếu là trong triết học. Từ khoảng thế kỷ XVII, toán học phát triển, khái niệm giới hạn mới thực sự hình thành. Khi làm việc với phép toán giới hạn, ta cần có một sự tưởng tượng trong đầu. Những hình ảnh biểu diễn hình học của dãy số và những đồ thị thật sự là yếu tố giúp ta tưởng tượng tốt nhất. Mặt khác, ta cũng có thể thay lần lượt các số khác nhau vào biểu thức tính giới hạn sao cho các số đó càng lúc càng tiến gần biến lấy giới hạn thì giá trị của biểu thức tiến dần về một số rõ nét. Điều đó sẽ giúp dễ tìm hiểu khái niệm giới hạn.

Trước hết ta cần nhớ lại khái niệm dãy số là gì (đặc biệt là cách hiểu) để ta có thể hình dung. Đối với dãy số được cho bởi công thức tổng quát, mỗi khi ta lấy một giá trị của \(n\) thì xác định được số hạng thứ \(n\) của dãy số. Từ đó, nếu ta thay \(n\) với những giá trị càng lúc càng lớn mà \(u_n\) nhận những giá trị càng lúc càng gần bằng một con số xác định thì số đó có thể được gọi là giới hạn của dãy.

Định nghĩa dãy có giới hạn bằng 0

Ta nói dãy \(u_n\) có giới hạn là 0 khi \(n\) dần tới dương vô cực nếu \(|u_n|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: \[\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=0\quad \text{hay}\quad u_n\rightarrow 0 \text{ khi }\ n\rightarrow +\infty\]

Thí dụ

Cho dãy \((u_n)\), \(u_n=\dfrac{1}{n}\). Ta có:

\(n=10,\ u_n=0,1\)
\(n=100,\ u_n=0,01\)
\(n=10000,\ u_n=0,0001\)
\(n=100000000,\ u_n=0,00000001\)

Tiếp tục, thì ta dễ thấy \(u_n\) đang dần tiến về 0. Người ta chứng minh được kết quả giới hạn của dãy \(u_n\) bằng 0.

Định nghĩa dãy có giới hạn bằng a

Ta nói dãy \(u_n\) có giới hạn là số \(a\) (hay \(u_n\) dần tới \(a\)) khi \(n \rightarrow +\infty\), nếu \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}(u_n-a)=0\). Kí hiệu:
\[\lim_{x\rightarrow +\infty}u_n=a\]

Thí dụ

Dãy \((u_n)\) với \(u_n=\dfrac{n}{n+1}\) có giới hạn bằng 1. Tương tự như trên, ta có thể kiểm chứng kết quả thông qua tính toán.