Định lý giới hạn kẹp

Định lý. Cho các dãy số \((u_n), (v_n), (w_n)\) thỏa điều kiện \(u_n \le v_n \le w_n \; \forall \; n \ge 1\) và \(\lim u_n = \lim w_n = a.\) Khi đó dãy số \((v_n)\) có giới hạn và \(\lim v_n =a.\)

Chú ý. Điều kiện \(u_n \le v_n \le w_n \; \forall \; n \ge 1\) có thể được thay bằng điều kiện \(\exists n_0 \in \mathbb{N} \; : u_n \le v_n \le w_n \; \forall \; n \ge n_0\) thì định lý vẫn còn đúng.

Áp dụng.

Bài 1. Tính giới hạn \(\lim \dfrac{\sin n + \cos n}{2n-3}.\)

Giải. Ta có \(\dfrac{-2}{2n-3} \le \dfrac{\sin n + \cos n}{2n-3} \le \dfrac{2}{2n-3} \forall \; n \ge 2\) và \(\lim \dfrac{-2}{2n-3}=\lim \dfrac{2}{2n-3} = 0\) nên

\[\lim \dfrac{\sin n + \cos n}{2n-3}=0\]

Bài 2. Tính các giới hạn sau:

1. \(\lim \dfrac{(-1)^n}{2n-5}\)
2. \(\lim \dfrac{(-1)^n.\cos (n+1)}{n^2}\)