Định lý giới hạn kẹp

Định lý. Cho các dãy số $(u_n), (v_n), (w_n)$ thỏa điều kiện $u_n \le v_n \le w_n \; \forall \; n \ge 1$ và $\lim u_n = \lim w_n = a.$ Khi đó dãy số $(v_n)$ có giới hạn và $\lim v_n =a.$

Chú ý. Điều kiện $u_n \le v_n \le w_n \; \forall \; n \ge 1$ có thể được thay bằng điều kiện $\exists n_0 \in \mathbb{N} \; : u_n \le v_n \le w_n \; \forall \; n \ge n_0$ thì định lý vẫn còn đúng.

Áp dụng.

Bài 1. Tính giới hạn $\lim \dfrac{\sin n + \cos n}{2n-3}.$

Giải. Ta có $\dfrac{-2}{2n-3} \le \dfrac{\sin n + \cos n}{2n-3} \le \dfrac{2}{2n-3} \forall \; n \ge 2$ và $\lim \dfrac{-2}{2n-3}=\lim \dfrac{2}{2n-3} = 0$ nên

$\lim \dfrac{\sin n + \cos n}{2n-3}=0$

Bài 2. Tính các giới hạn sau:

1. $\lim \dfrac{(-1)^n}{2n-5}$
2. $\lim \dfrac{(-1)^n.\cos (n+1)}{n^2}$