Đề thi tuyển sinh 10 môn Toán tỉnh Đồng Nai năm 2016

Câu 1. (2,0 điểm):

1. Giải phương trình \(9x^2-12x+4=0.\)
2. Giải phương trình \(x^4-10x^2+9=0.\)
3. Giải hệ phương trình \(\begin{cases}2x+y=5\\5x-2y=8\end{cases}\)

Câu 2. (2,0 điểm): Cho hai hàm số \(y=\dfrac{1}{2}x^2\) và \(y=x-\dfrac{1}{2}.\)

1. Vẽ đồ thị các hàm số này trên cùng một mặt phẳng toạ độ.
2. Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị đó.

Câu 3. (1,5 điểm): Cho phương trình: \(x^2-2mx+2m-1=0\) với \(x\) là ẩn số, \(m\) là tham số.

1. Chứng minh phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi \(m.\)
2. Gọi \(x_1, x_2\) là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tính \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}\) theo \(m\).

Câu 4. (1,0 điểm): Cho biểu thức \[A=\left(5-\dfrac{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\right)\left(5+\dfrac{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right)\] với \(x\ge0\), \(y\ge0\) và \(x\ne y.\)

1. Rút gọn biểu thức \(A.\)
2. Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x=1-\sqrt{3},\) \(y=1+\sqrt{3}.\)

Câu 5. (3,5 điểm): Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm \(O.\) Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua điểm \(B\) và vuông góc với \(AC\) tại \(K\). Đường thẳng \(d\) cắt tiếp tuyến đi qua \(A\) của đường tròn \((O)\) tại điểm \(M\) và cắt đường tròn \((O)\) tại điểm thứ hai \(N\), \(N\) khác \(B.\) Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(N\) trên \(BC\).

1. Chứng minh tứ giác \(CNKH\) nội tiếp được trong một đường tròn.
2. Tính số đo góc \(\widehat{KHC}\), biết số đo cung nhỏ \(BC\) bằng \(120^\circ.\)
3. Chứng minh rằng: \(KN.MN=\dfrac{1}{2}.\left(AM^2-AN^2-MN^2\right).\)

ĐÁP SỐ THAM KHẢO DÀNH CHO HỌC SINH DÒ KẾT QUẢ

Câu 1.

1. Phương trình có nghiệm kép \(x=\dfrac{2}{3}.\)
2. Đặt \(t=x^2\) được phương trình \[t^2-10t+9=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=1\\t=9\end{array}\right.\] Với \(t=1\) được \(x=\pm1\). Với \(t=9\) được \(x=\pm3.\)
3. Kết quả \(\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}\)

Câu 2.

1. Đồ thị: Học sinh tự trình bày bảng giá trị.

2. Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị \(\dfrac{1}{2}x^2=x-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=1\) (nghiệm kép). Ta được \(y=-\dfrac{1}{2}.\) Vậy hai đồ thị cắt nhau tại 1 điểm duy nhất \(M(1;\frac{1}{2}).\)

Câu 3.

1. \[\begin{array}{lll}\Delta'&=&m^2-(2m-1)\\&=&m^2-2m+1\\&=&(m-1)^2\ge0\quad\forall\;m\end{array}\] hoặc \[\begin{array}{lll}\Delta&=&4m^2-4(2m-1)\\&=&4(m^2-2m+1)\\&=&4(m-1)^2\ge0\quad\forall\;m\end{array}\] Vậy phương trình đã cho có nghiệm với mọi \(m.\)

2. Theo hệ thức Vi-ét thì \(\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=2m-1\end{cases}\) Ta có \[\begin{array}{ll}&\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}\\=&\dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}\\=&\dfrac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}\\=&\dfrac{(2m)^2-2(2m-1)}{2m-1}\\=&\dfrac{4m^2-4m+2}{2m-1}\end{array}\]

Câu 4. 1. \[\begin{array}{lll}A&=&\left[5-\dfrac{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\right]\left[5+\dfrac{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right]\\&=&\left(5-\sqrt{xy}\right)\left(5+\sqrt{xy}\right)\\&=&25-xy\end{array}\]

2. Chờ đáp án của Sở.

Câu 5.

1. Trường hợp BC>AB, khi đó \(H\) ở giữa \(B\) và \(C\) và tồn tại tứ giác \(CNKH\), tứ giác này có:

\(\widehat{NKC}=\widehat{NHC}=90^\circ\)

Mà \(K, H\) là 2 đỉnh liên tiếp nên tứ giác này nội tiếp được đường tròn.

Trường hợp BC<AB, khi đó \(H\) ngoài đoạn thẳng \(BC\) và không tồn tại tứ giác lồi \(CNKH\) chúng ta hãy chờ hướng dẫn của Sở.

Trường hợp đặc biệt: Tam giác \(ABC\) cân tại \(B\) thì \(C\) trùng \(H\), khi đó tứ giác thành tam giác.

2. Trường hợp 1: Số đo cung nhỏ \(BC\) bằng \(120^\circ\) nên \(\widehat{BNC}=\dfrac{1}{2}120^\circ=60^\circ\) (góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn). Vì tứ giác \(CNKH\) nội tiếp nên \(\widehat{KHC}=180^\circ-\widehat{KNC}=180^\circ-60^\circ=120^\circ.\)

Trường hợp 2: Không còn là hai góc đối của tứ giác nội tiếp nữa mà là 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh. Đáp số: \(60^\circ.\)

3. Vì các tam giác \(AKN\) và \(AKM\) vuông tại \(K\) nên ta có \(AN^2=AK^2+KN^2\) và \(AM^2=AK^2+KM^2.\) Ta có \[\begin{array}{ll}&\dfrac{1}{2}.\left(AM^2-AN^2-MN^2\right)\\=&\dfrac{1}{2}\left[AK^2+KM^2-(AK^2+KN^2)-MN^2\right]\\ =&\dfrac{1}{2}\left(KM^2-KN^2-MN^2\right)\\ =&\dfrac{1}{2}\left[(KN+MN)^2-KN^2-MN^2\right]\\ =&2KN.MN\end{array}\] Suy ra điều cần chứng minh.