Đề thi học sinh giỏi Toán 10 tỉnh Đồng Nai năm học 2015 - 2016

Câu 1. (4 điểm) Cho hàm số \(y=f(x)=\sqrt{1-x}+(a^2-a+1)\sqrt{x+a^2}\) với \(a\) là tham số. Xác định \(a\) để \(f\) là hàm số chẵn.

Câu 2. (4 điểm) Cho phương trình \(x^3-(2a+1)x^2+(a^2-a-3)x+2a^2+5a+3=0.\) Tìm \(a\) để phương trình có đúng một nghiệm.

Câu 3. (4 điểm) Lấy điểm \(M\) nằm bên trong tam giác \(ABC\), đường thẳng \(AM\) cắt đường thẳng \(BC\) tại \(D.\) Chứng minh

1. \(S_{ABD}.\overrightarrow{DC}+S_{ACD}.\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{0}\)
2. \(S_{MBC}.\overrightarrow{MA}+S_{MCA}.\overrightarrow{MB}+S_{MAB}.\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)

Trong đó, kí hiệu \(S_{XYZ}\) là diện tích tam giác \(XYZ.\)

Câu 4. (4 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho tam giác đều \(ABC\) ngoại tiếp đường tròn \((K)\). Tìm toạ độ đỉnh \(A\), biết \((K)\) có phương trình \((x-3)^2+(y-2)^2=5\) và đường thẳng \(BC\) đi qua \(M(6;1).\)

Câu 5. (4 điểm) Cho \(a, b, c\) là 3 số thực thoả điều kiện \(a^2+b^2+c^2=1.\) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của \(P=ab+bc+2ca.\)