Đề kiểm tra đạo hàm

(NHC 2015-2016)

Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số

1. $y=\dfrac{x^4}{2}-3x^3-3\cot x-2\sqrt{x}$
2. $y=\dfrac{2x^2-x-1}{3x^2+x+2}$
3. $y=\sqrt{\sin(2x+1)}$

Đáp số:

1. $y'=2x^3-9x^2+\dfrac{3}{\sin^2x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}$
2. $y'=\dfrac{5x^2+14x-1}{(3x^2+x+2)^2}$
3. $y'=\dfrac{\cos(2x+1)}{\sqrt{\sin(2x+1)}}$

Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\dfrac{3}{4}x^4-3x^2+\dfrac{5}{4},$ biết tiếp điểm có hoành độ bằng $-1.$

Giải. Ta có $y'=3x^3-6x.$ Gọi $M(x_0;y_0)$ là tiếp điểm, ta có $x_0=-1$, $y_0=-1$, $y'(-1)=3.$ Phương trình tiếp tuyến là $y=3x+2.$

Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x-3}{1-x}$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $d: y=-25x+13.$

Giải. Ta có $y'=\dfrac{-1}{(1-x)^2}.$ Gọi $M(x_0;y_0)$ là tiếp điểm. Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=-25x+13$ nên $\begin{array}{ll}&y'(x_0)=-25\\ \Leftrightarrow&\dfrac{-1}{(x_0-1)^2}=-25\\ \Leftrightarrow&(1-x_0)^2=\dfrac{1}{25}\\ \Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}1-x_0=\dfrac{1}{5}\\1-x_0=-\dfrac{1}{5}\end{array}\right.\\ \Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}x_0=\dfrac{4}{5}\\x_0=\dfrac{6}{5}\end{array}\right.\end{array}$

Với $x_0=\dfrac{4}{5}$ thì $y_0=-7$, phương trình tiếp tuyến là $y=-25x+13$ (loại vì trùng với $d$)

Với $x_0=\dfrac{6}{5}$ thì $y_0=3$, phương trình tiếp tuyến là $y=-25x+33.$

Bài 4. Giải phương trình $y'=0$, biết $y=x+\sqrt{4-x^2}.$

Giải. Ta có $y'=1-\dfrac{x}{\sqrt{4-x^2}}$. Để tồn tại đạo hàm thì $4-x^2>0\Leftrightarrow-2<x<2.$

$\begin{array}{ll}&y'=0\\ \Leftrightarrow&1-\dfrac{x}{\sqrt{4-x^2}}=0\\ \Leftrightarrow&\sqrt{4-x^2}=x\\ \Leftrightarrow&\begin{cases}x\ge0\\4-x^2=x^2\end{cases}\\ \Leftrightarrow&\begin{cases}x\ge0\\x=\pm\sqrt{2}\end{cases}\\ \Leftrightarrow&x=\sqrt{2}\end{array}$

Vậy phương trình có 1 nghiệm $x=\sqrt{2}.$

Bài 5. Tìm trên đồ thị hàm số $y=\dfrac{x+2}{x}$ toạ độ điểm $M$ sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại $M$ tạo với đường thẳng $3x-y+5=0$ góc $45^\circ.$

Giải. Ta có $y'=\dfrac{-2}{x^2}.$ Gọi $M\left(a;\dfrac{a+2}{a}\right)$ (với $a\ne0$) là điểm thuộc đồ thị cần tìm. Gọi $k$ là hệ số góc của tiếp tuyến, khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng $y=kx+m$ hay $kx-y+m=0$. Vì tiếp tuyến tạo với đường thẳng $3x-y+5=0$ nên $\begin{array}{ll}&\cos45^\circ=\dfrac{|3k+1|}{\sqrt{k^2+1}.\sqrt{9+1}}\\ \Leftrightarrow&\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{|3k+1|}{\sqrt{10}.\sqrt{k^2+1}}\\ \Leftrightarrow&\sqrt{5}.\sqrt{k^2+1}=|3k-1|\\ \Leftrightarrow&5(k^2+1)=9k^2+6k+1\\ \Leftrightarrow&4k^2+6k-4=0\\ \Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}k=-2\\k=\frac{1}{2}\end{array}\right.\end{array}$

Với $k=\dfrac{1}{2}$ ta có $-\dfrac{2}{a^2}=\dfrac{1}{2}$, không tồn tại $a$.

Với $k=-2$ ta có $-\dfrac{2}{a^2}=-2\Leftrightarrow a=\pm1$. Vậy tìm được $M(1;3)$ hoặc $M(-1;-1).$