Đề kiểm tra 45 phút lượng giác 11

NHC 2016

Câu 1. Tìm tập xác định của hàm số \(y=\tan\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right).\)

Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y=1-2\sin x.\)

Câu 3. Giải các phương trình sau

1. \(\sin\left(\dfrac{x}{3}+15^\circ\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
2. \(\tan\left(\dfrac{\pi}{3}+x\right)=\tan\dfrac{11\pi}{24}\)
3. \(-6\sin^2x+5\sin x-1=0\)
4. \(-\sqrt{3}\sin2x+\cos2x=\sqrt{2}\)
5. \(2\sin^2x+\sqrt{3}\sin2x-4\cos^2x=2\)
6. \(\sin x\cos x-2\sin x-\cos x+2=0\)
7. \(\sqrt{3}\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\sqrt{3}-\cos^2\dfrac{x}{2}\)

Hướng dẫn:

\[\begin{array}{ll}&\sqrt{3}\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\sqrt{3}-\cos^2\dfrac{x}{2}\\ \Leftrightarrow &\sqrt{3}\cos2x=\sqrt{3}-\dfrac{1+\cos x}{2}\\ \Leftrightarrow&2\sqrt{3}(2\cos^2x-1)=2\sqrt{3}-1-\cos x\\ \Leftrightarrow&4\sqrt{3}\cos^2x+\cos x-4\sqrt{3}+1=0\\ \Leftrightarrow&(\cos x+1)(4\sqrt{3}\cos x-4\sqrt{3}+1)=0\\ \Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}\cos x=-1\\ \cos x=\dfrac{4\sqrt{3}-1}{4\sqrt{3}}\end{array}\right.\end{array}\]

Câu 4. Tìm các nghiệm thuộc \(\left[-\dfrac{\pi}{2};3\pi\right]\) của phương trình \[\dfrac{\cos2x-\sin2x-2\sin x-1}{\cos x+1}=0.\]

Hướng dẫn:

Điều kiện \(\cos x\ne -1.\)

\[\begin{array}{ll}&\dfrac{\cos2x-\sin2x-2\sin x-1}{\cos x+1}=0\\ \Leftrightarrow & (\cos2x-1)-2\sin x\cos x-2\sin x=0 \\ \Leftrightarrow&-2\sin^2x-2\sin x\cos x-2\sin x=0\\ \Leftrightarrow&-2\sin x(\sin x+\cos x+1)=0\\ \Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}\sin x=0\\ \sin x+\cos x+1=0\end{array}\right.\end{array}\]

Từ \(\sin x=0\Leftrightarrow \cos x=\pm 1.\) Loại \(\cos x=-1\) ta được \(\cos x=1\Leftrightarrow x=k2\pi.\) Vì \(x\in\left[-\dfrac{\pi}{2};3\pi\right]\) ta được \(x=0; x=2\pi.\)

\[\begin{array}{ll}&\sin x+\cos x+1=0\\ \Leftrightarrow&\sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=-1\\ \Leftrightarrow&\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\\ \Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\\x=\pi+k2\pi\end{array}\right.\end{array}\]

Vì \(x\in\left[-\dfrac{\pi}{2};3\pi\right]\) ta được \(x=-\dfrac{\pi}{2}; x=\pi; x=3\pi.\)

Đáp số: Tập các nghiệm thuộc \(\left[-\dfrac{\pi}{2};3\pi\right]\) là \(\left\{-\dfrac{\pi}{2};0;\pi;2\pi;3\pi\right\}\)